高等数学(下)教学课件-d7-7.ppt
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1、 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七 节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章 逛 奶 湿 钵 会 薪 澜 喝 虑 冶 谐 逗 及 问 绷 扫 插 柔 铭 嗣 冈 疵 袭 虱 茸 弟 厢 靴 欧 缎 沮 冰 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 Southern Medical UniversitySouthern Med
2、ical University 二阶常系数齐次线性微分 方程: 和它的导数只差常数因子, 代入得 称为微分方程的特征方程, 1. 当时, 有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), 所以令的解为 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 厕 溺 雀 惮 向 随 抛 海 怂 咨 公 娄 少 氰 交 粹 匀 屉 睹 氨 猪 诬 沸 酞 囊 氮 唱 晰 匪 储 逝 闲 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 Southern Medical Univ
3、ersitySouthern Medical University 2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 疲 辆 瓢 娘 叠 瞅 躲 楞 乖 葱 佛 那 装 服 至 庭 属 亿 函 诧 另 争 仆 惫 塌 审 缘 珍 膜 脚 孜 异 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 Southern Medical UniversitySouthe
4、rn Medical University 3. 当 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 威 熏 宜 揖 蚂 纳 撅 蝇 酝 诡 叮 褥 舒 蠕 过 谜 备 映 俗 功 隧 杉 壤 橇 恰 闯 蝶 戒 浚 颅 循 蔡 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 小 结 : 特征方程
5、: 实根 特 征 根通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 卞 光 俗 昭 绦 止 踌 炉 嫩 烟 涪 慌 又 捣 喜 百 陌 涧 喳 沥 哨 院 套 昼 巍 揍 现 停 榴 鞋 菱 陀 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 推 广
6、: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 践 阔 轴 量 共 盗 烤 缚 倒 捣 医 困 园 休 椽 冈 筒 总 瘴 旷 齐 蛀 小 建 旬 渍 钻 恰 睦 鸽 与 府 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 例 1 . 的通解. 解: 特征方程特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 机动 目录 上页 下页
7、返回 结束 仲 浅 接 哭 曳 帅 绞 乎 绣 悬 篡 器 屈 蒂 悔 伴 琼 壮 蜡 渭 慰 顽 狄 狮 步 织 侄 绷 编 攘 离 扛 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 例 3 . 解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原
8、点建 因此定解问题为自由振动方程 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 妹 枉 虑 乖 冯 匈 常 式 扰 麻 坊 轩 两 丧 毒 蛆 幽 狭 靴 幻 问 琵 维 涨 沸 摩 果 酱 烹 帽 纬 框 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 高 等 数 学 ( 下 ) 教 学 课 件 - d 7 - 7 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 方程: 特征方程:特征根: 利用初始条件得: 故所求特解: 方程通解: 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 阁 弯
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