《线性代数期末复习》吕线代 ch2-3.ppt
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1、 CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算 回顾: 倒数 1 定义: 设a是一个数, 若存在数b,使得 则称b是a的倒数, 记为b=或 a-1. 2 判别: 数a有倒数的充要条件是 复习: 矩阵的概念 a0. a 数本身即为 11型矩阵 狮 斌 妓 弯 谐 评 奸 套 籍 铝 萎 惨 绒 五 胞 鄂 姨 取 栓 蝗 棘 廖 辫 种 泅 阮 叔 弦 靶 恨 塔 笋 线 性 代 数 期 末 复 习 吕 线 代 c h 2 - 3 线 性 代 数 期 末 复 习 吕 线 代 c h 2 - 3 CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算 【定义2.6】设A为一个方阵,若存在同阶方阵B,使得 一 逆矩阵的概念 3 3
2、逆矩阵逆矩阵 注:(1) 可逆矩阵必须是方阵; (2) 若方阵A有逆矩阵,则逆是唯一的. 原因: 由AmnBst=BstAmn=E, AB=BA=E, 则称A是可逆矩阵,称B为A的逆矩阵,记为B=A-1. 原因: 若A有两个逆矩阵B和C, 即AB=BA=E, AC=CA=E, 则 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C. 则 m=n=s=t. 帅 颇 薯 谤 唬 捞 慈 认 闺 鞭 剑 速 秽 锁 咒 菠 埠 啃 卧 胺 幻 钢 班 瞎 柞 桓 蛊 疫 葵 楚 川 种 线 性 代 数 期 末 复 习 吕 线 代 c h 2 - 3 线 性 代 数 期 末 复 习 吕 线 代 c h 2 -
3、 3 CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算 (1) 由EE=E知,单位矩阵E可逆,且E-1=E; (2) 若A2=E, 则A可逆,且A-1=A; 例: (3) 若方阵A满足:A2+2A-E=O. 说明A可逆,并求A-1. 解: 由 A2+2A-E=O 得: 故由逆矩阵的定义知:A可逆,且 A-1= A+2E. 注: 求逆矩阵的方法之一: A( )=E且A+2E 利用定义. ( )A=E.A+2E 捌 亿 兔 构 禹 是 研 忽 睹 蹲 越 羹 妙 识 乾 址 绸 瘪 予 蓬 土 嵌 再 副 帖 尸 剥 戒 敷 钓 挞 疏 线 性 代 数 期 末 复 习 吕 线 代 c h 2 - 3 线 性 代
4、数 期 末 复 习 吕 线 代 c h 2 - 3 CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算 【定理2.1】设A是n阶方阵, 则 【证明思路】利用逆矩阵的定义. (4) 所以由定义知:AB 可逆,且(AB)-1=B-1A-1 证毕. B-1A-1 (AB) (AB)B-1A-1 =A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1 =B-1(A-1A)B=B-1EB =B-1B 二 逆矩阵的性质 (1) 若A可逆, 则A-1也可逆,且(A-1)-1=A; (2) 若A可逆, 数k0, 则kA也可逆, 且(kA)-1=k-1A-1; (3) 若A可逆, 则AT也可逆, 且(AT)-1=(A-1)T; (4) 若
5、B与A是同阶可逆矩阵, 则AB也可逆, 且(AB)-1=B-1A-1. =E, =E. 运算顺序 的交换性 腑 芋 亲 饶 未 什 浦 珍 际 改 锦 罐 排 饥 拓 屈 莫 立 迎 啥 慎 禄 精 鳞 奸 屑 闻 铱 苑 酱 贺 杀 线 性 代 数 期 末 复 习 吕 线 代 c h 2 - 3 线 性 代 数 期 末 复 习 吕 线 代 c h 2 - 3 CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算 (一) 伴随矩阵: 1 定义: 设方阵A=(aij)nn,用|A|中元素aij的代数余子式 Aij 构成的矩阵: 称为A的伴随矩阵,记为A*. 三 方阵可逆的充要条件 注意Aij的排列顺序! 灰常重要!
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