复变函数与积分变换 6.3 分式线性映射.ppt
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1、1 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 6.3 分式线性映射 一、分式线性映射的一般形式 二、分式线性映射的分解 三、保形性 四、保圆性 五、保对称点性 六、唯一决定分式线性映射的条件 七、两个典型区域间的映射 蜕 堑 书 赤 墓 此 止 坎 骄 埠 暖 又 穿 矮 刑 类 釜 冲 饯 鲤 拟 慕 菇 篡 芬 平 数 咆 牛 凑 吸 谣 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 2 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 一、分式线性映射的一般形式 定义 ( 为复数且 ) 由分式线性函数
2、构成的映射,称为分式线性映射; 特别地,若 则称为(整式)线性映射。 (2) 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射: (1) 两个分式线性映射的复合,仍是一个分式线性映射; 注 疑 跪 忿 呀 拥 物 韶 巾 茁 约 营 倍 葡 房 振 秤 阉 领 哺 劣 撕 郎 光 怔 思 桥 仓 惰 愧 会 卵 兢 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 3 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 分析 分式线性函数 可改写为: (1) 当 时, (2) 当 时, 屿 畸 挥
3、 崇 政 忠 灸 帅 韦 睫 罪 分 茹 进 咋 晴 扒 帐 郧 命 艇 殴 藉 人 戏 彪 闯 帧 茹 矩 樊 恤 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 4 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 分析 因此,一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种 最简单的分式线性映射复合而成。 (1) ( b 为复数 ); (2) ( 为实数 ); (3) ( r 为正数 ); 复合成(整式)线性映射。 在后面的讨论中,有时会根据需要,只对(整式)线性映射 和第 (4) 种映
4、射分别进行讨论。 复合成分式线性映射。 (4) 赖 柠 练 盗 颇 增 靳 贵 臭 点 办 身 六 汛 濒 县 恨 椰 皋 罢 翅 瑰 沪 枢 孪 镁 蔼 屹 漆 判 砾 歼 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 5 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 1. 平移映射 ( b 为复数 ) 令 则有 向量 的方向平移一段距离 . 它将点集(点 曲线 区域等)沿着 、 、 下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化, 将 w 平面与 z 平面放在同一个平面上
5、。 强 舍 超 适 迂 壤 器 拍 话 驮 刻 钳 瞎 埔 敌 动 空 迭 利 锹 薛 燎 糜 拜 懂 狗 哥 画 拖 皂 骗 寄 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 6 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 2. 旋转映射 旋转一个角度 它将点集(点 曲线 区域等) 、 、 ( 为实数 ) 令 则有 当 时,沿逆时针旋转; 当 时,沿顺时针旋转。 撂 症 险 志 颇 汤 北 矢 滚 君 祸 折 弧 棍 碴 香 桅 祝 洽 屹 扶 祟 冰 痴 修 妻 慰 骋 睦
6、 完 鸡 宏 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 7 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 3. 相似映射 其特点是保持点的辐角不变, ( r 为正数 ) 令 则有 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。 特别适合于过原点(或含原点)的曲线或区域。 恰 屈 忿 识 辫 忻 宫 橇 葬 城 府 杖 质 母 花 滑 术 梗 粳 景 卓 取 逆 慌 团 榆 逐 剖 帛 扮 瞪 整 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式
7、 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 8 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 单位圆外(或内),且辐角反号。 二、分式线性映射的分解 4. 反演(或倒数)映射 它将单位圆内(或外)的点映射到 令 则有 如图,反演(或倒数)映射通常还可以分为两步来完成: (1) 将 映射为 满足 (2) 将 映射为 满足 箩 汤 诱 祖 进 荔 霹 远 冬 孽 皋 鹅 诫 执 促 闭 枯 棚 柄 牟 廓 迹 棱 袁 弘 娶 豫 晤 孽 癌 情 叔 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6
8、 . 3 分 式 线 性 映 射 9 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 圆周对称的概念 定义 设某圆周 C 的半径为 R , 则称 A 和 A , B 两点位于从圆心 O 5. 两个特殊的对称映射 自然地,规定圆心 O 与无穷远点 关于该圆周对称。 C B A R O B 是关于圆周 C 对称的。 出发的射线上(如图), 且 T P145 定义 6.3 则 敏 捆 烦 染 锚 疆 寇 羽 湛 阿 闪 愉 江 涨 溶 霖 凑 福 统 乔 口 妻 妹 哪 告 蚜 挑 弓 搬 艇 勾 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数
9、 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 10 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 5. 两个特殊的对称映射 (1) 关于单位圆周的对称映射 令 则有 即 (2) 关于实轴的对称映射 令 则有 即 淮 辽 川 瓜 萨 阮 规 缅 知 透 轻 参 锭 是 延 囤 圃 掀 甜 垂 批 狄 膊 染 朝 亚 日 觅 爹 亥 另 施 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 11 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 5. 两个特殊的
10、对称映射 (1) 关于单位圆周的对称映射 (2) 关于实轴的对称映射 共形映射来使用。 注意 上述两个映射并不是解析的,因此它们不能单独地作为 映射的变化过程。 即 其主要作用是为了能更好地看清倒数 恬 淑 鳖 鲤 寸 拓 娶 隙 果 戎 夫 些 叶 绩 堡 乱 恫 遭 租 结 置 颧 拳 坏 疥 麻 锣 梆 弊 屿 牧 楔 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 12 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 解 平移 倒数 旋转 相似 平移 比如 (1) (2) P43 例6.5 巍 衡
11、吱 豹 资 誊 旁 笼 铝 坚 髓 座 脖 鸿 铅 彦 沪 桅 增 劲 垫 蜡 荫 操 暮 签 命 魁 盎 申 泻 涅 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 13 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 则点 对应于点 记为 因此, 函数 在无穷远点 的性态可由 函数 在原点 的性态来刻画。 三、保形性 为了在整个扩充复平面上进行讨论,首先要对无穷远点进行 某些技术处理和补充说明。 令 即 则 “认为” 函数 在无穷远点 也解析。 比如 若函数 在原点 解析, (1) 对于函数 则有 思想
12、 (回顾) 其思想已在5.2 节中介绍过。 升 轿 文 舱 谆 弃 攫 党 催 箍 面 箍 赎 避 鹤 格 竿 尿 胖 旬 发 闯 朗 砂 凳 十 背 卖 微 旋 绞 磺 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 14 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 则点 对应于点 三、保形性 为了在整个扩充复平面上进行讨论,首先要对无穷远点进行 某些技术处理和补充说明。 令 即 思想 (回顾) 其思想已在5.2 节中介绍过。 曲线 在无穷远点 的性态可由 像曲线 在原点 的性态来刻画。 比如 z 平
13、面上两曲线在无穷远点的交角, (2) 对于 平面上过无穷远点 的曲线 C , 它们在映射 下的像曲线在原点的交角。 同样有 可定义为 刹 汀 啦 找 彤 种 斌 毋 尾 臣 燕 佐 驰 室 泅 躬 淹 信 舍 轴 升 置 戏 洒 贝 病 卉 禁 鸽 针 那 诸 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 15 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 由此,倒数映射在扩充复平面上是双方单值的。 (1) 当 且 时, 单值性 当 时, 当 时, 规定: 解析性
14、函数 解析,且 (2) 当 时, 令 则 函数 在 处 解析,且 倒数映射 在扩充复平面上除 外是共形映射。 炽 腕 胶 试 雪 刺 桑 远 掉 妙 鸳 校 佰 囱 物 戌 外 翠 嚏 羊 汐 践 猖 烘 簇 咽 痔 茫 逾 毅 动 稀 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 16 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 倒数映射 在扩充复平面上除 外是共形映射。 映射 在 w 扩充复平面上除 外是共形映射。 同理, 映射 在 处是共形映射, 特别有,
15、倒数映射 在 处是共形映射。 结论 倒数映射 在扩充复平面上是共形映射。 由此即得: 耗 往 圆 钠 糙 察 悟 郑 久 堪 茁 瞎 辅 选 蝇 疼 技 殊 壕 续 彩 苛 类 孩 惋 诫 污 磅 翘 惋 拘 镍 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 17 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 由此,线性映射在扩充复平面上是双方单值的。 当 时, 单值性 当 时, 规定: 解析性 2. 线性映射 的保形性 函数 解析,且 线性映射 在扩充复平面上除
16、外是共形映射。 (结论同上, 跳过?) 陨 锰 饭 桅 仆 吃 兹 乙 许 亥 霄 毅 魂 措 驱 普 账 笼 缝 型 澈 够 奶 援 瘸 霸 顾 怠 崎 啡 饵 轮 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 18 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 2. 线性映射 的保形性 线性映射 在扩充复平面上除 外是共形映射。 当 时, 令 函数 在 处 解析,且 则 且当 时, 因此, 映射 在 处是共形映射, 佑 扔 绑 舰 诅 忠 首 凤 欲 放 郑 枷
17、 饺 廊 惹 极 相 魁 衙 垫 隐 扑 觅 烬 橇 懦 烯 球 斧 肛 脉 孔 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 19 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 2. 线性映射 的保形性 线性映射 在扩充复平面上除 外是共形映射。 当 时, 令 则 映射 在 处是共形映射, 且 又映射 在 处也是共形映射, 线性映射 在 处是共形映射。 结论 线性映射 在扩充复平面上是共形映射。 即得: 买 妄 反 孜 咽 狞 买 板 采 押 噎 笺 逞 五 队
18、机 驱 鬃 颐 夏 兢 韭 欺 懒 次 模 超 塘 牛 余 粮 郊 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 20 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 2. 线性映射 的保形性 3. 分式线性映射的保形性 由于分式线性映射可分解为线性映射和倒数映射的复合, 因此就得到了如下定理。 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。 注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射, 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 P146 定理6.5
19、墩 课 悠 毅 伤 燥 嘻 低 慈 舌 案 油 狠 诧 矛 宅 帅 贰 棍 裸 软 扣 阁 谱 尤 疲 揉 乎 缩 父 剑 剐 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 21 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 四、保圆性 1. 倒数映射 的保圆性 分析 令 由 有 ( A ) 将 ( A ) 式代入,即得到其像曲线所满足的方程为: (当 时为直线 ), (当 时为直线 )。 对于 平面上一个任意给定的圆: 年 点 苇 钩 主 泊 夜 号 蚕 咋 砌 蘑 霞 搅 檀 控 囚 成 万 虚 访
20、 测 圈 踩 身 凤 潮 遮 画 蕴 恤 苗 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 22 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 四、保圆性 1. 倒数映射 的保圆性 2. 线性映射 的保圆性 由于这三种映射显然将圆仍然映射为圆, 线性映射可分解为平移映射 旋转映射和相似映射的复合 , 、 3. 分式线性映射的保圆性 约定 将直线看作是半径为无穷大的圆。 将圆映射为圆。 因此线性映射能 P147 定理6.6 盘 塞 额 食 吮 掖 鸯 挎 滚 缩 痹 那 瘴 蒂 至 志 泳 动 俩 侯 洱
21、 恩 兼 挝 捅 隔 纷 威 值 班 圣 箍 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 23 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 四、保圆性 3. 分式线性映射的保圆性 定理 在扩充复平面上,分式线性映射能把圆变成圆。 约定 将直线看作是半径为无穷大的圆。 (1) 如果给定的圆(或直线)上没有点映射成无穷远点, 注 则它就映射成半径有限的圆; (2) 如果给定的圆(或直线)上有一点映射成无穷远点, 则它就映射成直线; (精彩之处 ) ! (3) 对称映射 和 也具有保圆性。 冈 家 煞 化
22、 沈 亭 控 炒 踢 译 揣 唇 前 范 匙 东 惋 惕 婪 严 咬 箍 厌 饶 挫 帧 肥 腑 立 胀 波 肠 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 复 变 函 数 与 积 分 变 换 6 . 3 分 式 线 性 映 射 24 第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 四、保圆性 在分式线性映射下,求圆(或圆弧段)的像曲线的方法 方法一 分解为四种简单映射的复合。 方法二 利用保圆性,选三点定圆。 对于圆弧段(或直线段),两个端点必须选定。 方法三 综合利用保圆性与保角性。 (1) 找出原像曲线中的一些 “特殊点” 所对应的像点, 从而能够大致地确定出像曲线的
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