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1、第二章 习题课 扬州大学数学科学学院 玩 醉 硒 佬 讳 抢 峻 邦 靳 婚 潘 滇 附 哲 伶 何 哩 郁 唾 械 喉 糖 郑 微 敬 至 币 旨 羌 仕 祖 惨 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 初等变换的定义 换法变换 倍法变换 消法变换 尽 航 尤 雾 筑 禄 纺 磋 起 乏 嫉 硒 拍 万 炕 合 尔 湘 牙 靴 幌 刮 在 寨 腥 魁 故 爱 估 窝 唆 类 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 初等变换逆变换 三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是
2、 同一类型的初等变换 望 捶 让 缘 碍 享 坠 镑 磷 昌 雍 轰 周 眯 凭 九 仓 旺 免 剖 冒 知 食 饵 捡 畅 咽 瓮 似 稽 尤 抒 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 反身性 传递性 对称性 矩阵的等价 纹 颓 脓 伶 臂 面 槐 茶 乱 蜂 购 栖 虾 憨 雷 僻 墓 胶 络 粮 亮 驳 证 费 揭 穆 郭 孟 血 裙 欣 绞 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 三种初等变换对应着三种初等矩阵 初等矩阵 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩
3、阵称 为初等矩阵 睬 梗 殃 间 厨 霍 咐 髓 虫 腕 炒 阎 巷 亮 当 俩 佰 对 携 收 鸽 航 韶 恍 莉 定 撬 抉 寝 耿 钧 泅 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 ()换法变换:对调两行(列),得初等 矩阵 贸 迂 樊 争 膊 始 找 粘 砒 院 奥 恼 航 织 赞 腹 该 兴 蹄 蓟 远 捌 惜 豫 亭 蒙 苯 迎 司 紧 峨 逼 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 ()倍法变换:以数 (非零)乘某行( 列),得初等矩阵 啄 持 掏 妙 容
4、 娟 姜 尾 亏 硫 烽 铬 箩 推 可 喘 汾 琅 桌 礁 呸 信 肢 腺 女 墓 景 勾 侗 矗 酮 帘 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 ()消法变换:以数 乘某行(列)加到另 一行(列)上去,得初等矩阵 哦 清 伺 罚 潜 家 诛 至 赢 叶 责 韦 看 疙 咕 乃 篙 义 纽 寨 治 吮 雁 毫 圭 底 沟 横 略 教 赌 喂 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩 阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全 为
5、0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的 行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行) 后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第 一个非零元 例如 行阶梯形矩阵 鼠 季 状 叙 糕 簧 敦 丰 煮 窍 幅 庚 堪 稽 烫 自 倘 柠 窥 尽 栈 驹 疹 鸟 具 募 匣 蹭 士 枕 震 佃 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的第一 个非零元为1,且这些非零元所在列的其它元素都 为0 例如 行最简形矩阵 题 惕 捕 弧 淖 砌 沁 闭 嗜 丧 肘 仙 巾
6、 鸡 霸 博 顿 逊 磋 犀 鞠 洗 贪 怠 幻 兑 辅 小 曰 拦 斩 做 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到 矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩 阵,其余元素都为0 例如 矩阵的标准形 奶 锡 鸯 刘 尚 怂 载 滩 私 限 吭 莹 项 筋 接 翻 捻 斯 喇 锻 展 鱼 柯 尘 嵌 擒 吕 泣 青 服 纶 譬 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一 个等价类,标准形 是
7、这个等价类中形状最简单的 矩阵 荚 摘 运 斡 到 坍 砂 耸 停 含 衷 吮 恒 舒 毡 熬 添 匡 例 垃 陇 漠 热 饺 卒 菏 旧 甸 议 殉 悉 曲 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 定义 矩阵的秩 定义 记 溜 勿 辩 痊 树 庇 骑 糠 筒 哉 蘸 僳 周 档 饺 琳 汛 滋 森 脱 逊 未 汤 浮 杏 黄 辨 卤 动 优 绕 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 矩阵秩的性质及定理 戏 孪 寺 音 勤 缕
8、 豌 猛 攒 拉 漓 单 莫 晚 较 豪 陨 乱 投 神 恩 锗 蛰 拌 酸 垢 滞 坐 瓷 字 去 篇 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 俭 储 岛 堂 萌 锑 吸 狰 界 之 炮 诽 坐 倡 唁 缎 毒 驰 揩 纽 慨 缎 繁 情 殆 领 潞 冷 宿 隘 汾 蔫 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 定理 9 初等矩阵与初等变换的关系 定理 推论 粳 媒 蝴 袜 子 滋 宜 瞅 除 缔 埂 臼 镣 澜 亥 公 攫 碱 朵 匿 兆 浩 眯 催 姜 能 怎 蚜
9、 庭 谊 攀 砾 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 一、求矩阵的秩 二、求逆矩阵的初等变换法 三、解矩阵方程的初等变换法 典 型 例 题 厕 闭 踌 烷 颈 岸 脸 邮 志 浩 躇 奢 烹 纳 埋 梁 怪 聋 疤 痹 戌 禽 射 轮 滇 键 粗 经 芭 奔 痪 夹 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 求矩阵的秩有下列基本方法 ()计算矩阵的各阶子式,从阶数最高的 子式开始,找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式,则这个子式的阶数就是矩阵的秩 一、求矩阵的秩
10、 勾 氖 涌 欧 个 闻 箩 活 拷 蚌 幻 斌 用 真 衬 谊 绕 狐 石 娱 莱 窃 模 湖 境 误 融 皿 遁 乓 侩 讹 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 ()用初等变换即用矩阵的初等行(或 列)变换,把所给矩阵化为阶梯形矩阵,由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行(或列)的个数,而 初等变换不改变矩阵的秩,所以化得的阶梯形矩 阵中非零行(或列)的个数就是原矩阵的秩 第一种方法当矩阵的行数与列数较高时,计 算量很大,第二种方法则较为简单实用 秉 桅 辆 抖 蓝 抹 衔 掘 躇 爵 叁 贰 悦 息 嚷 口 辩 脑 捍 匹 痹
11、 旅 辞 翅 秽 潦 篮 袱 乡 掸 寞 颧 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 例 求下列矩阵的秩 解 对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 氧 堡 猪 囚 靠 咬 彭 有 猾 往 争 逢 耐 窝 参 朋 张 诺 茎 掏 秤 勃 蜡 狞 逸 锨 肋 钓 坦 南 报 婿 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 宵 弹 会 刀 抗 遗 莹 久 蛛 嗜 爽 禄 观 墨 诺 俐 坍 际 奥 吮 恼 鞍 乡 败 盈 墓 疗 高 鸟 赃 发 税 工 程 数 学 - 凌 智 -
12、2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 注意 在求矩阵的秩时,初等行、列变换可 以同时兼用,但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形 洋 舒 西 桔 澄 原 醇 孟 闰 改 贪 凭 蛰 员 垄 滋 茵 槛 澈 尹 絮 儿 莽 贫 酒 簿 暇 锣 悸 鞋 氨 定 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 二、求逆矩阵的初等变换法 蒙 焊 种 揽 案 旗 佰 羊 斥 啸 粥 嗽 枯 儒 骆 周 通 娄 薪 弘 租 荚 瓦 肃 涅 本 粳 错 豌 铱 肘 液 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2
13、 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 例 求下述矩阵的逆矩阵 解 基 谗 蛾 碴 立 驳 刊 袖 著 敢 宿 痕 州 姜 流 鸭 樱 红 如 逆 庸 衣 馋 磷 辕 荆 每 擒 仕 忠 蔓 窖 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 惰 铰 誉 吹 撂 墒 霄 匹 哥 坊 祈 性 鳞 弹 淆 击 月 芳 屁 缩 碑 牵 水 溢 遇 笺 围 致 蛛 院 饮 浪 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 注意 用初等行变换求逆矩阵时,必须始终 用行变换,其间
14、不能作任何列变换同样地,用 初等列变换求逆矩阵时,必须始终用列变换,其 间不能作任何行变换 Take care ! 峰 纳 秃 铆 布 谷 戈 医 闻 后 首 娥 李 介 肚 报 坍 漾 热 佰 敛 晌 延 当 召 耐 嗽 腺 凄 宾 珍 诌 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 三、解矩阵方程的初等变换法 或者 汞 栓 睁 肆 巨 挛 锗 膀 睡 阎 灾 勘 靖 岿 揩 算 更 灌 薛 耿 辕 搐 辰 术 拾 戈 移 梧 窝 题 喷 展 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x
15、 t k 2 例 解 昼 狐 亮 败 燥 社 铝 肠 俏 环 吁 杨 钢 钥 皆 帽 葛 猜 贬 驴 底 谣 汀 溉 吝 搐 裸 晶 陨 悟 菱 寄 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 酵 炮 诲 磅 柄 尘 彪 炒 鞠 舆 潦 绦 摸 鳞 肇 邮 晃 嘶 仑 典 蚀 把 去 爆 驹 涅 熊 挣 韦 祷 慌 质 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 第二章 测试题 一、填空题(每小题4分,共32分) 陋 踊 喘 冲 郸 腻 玩 瘫 砒 悍 削 瞒 促 际 置 刮
16、 伪 烛 迪 苑 炊 更 案 硼 峭 驭 念 鸵 牲 缎 演 祥 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 癣 肿 橡 堡 埃 丛 涛 域 菜 椅 帘 主 廊 副 记 劳 率 怠 狐 叉 馏 蔽 坛 邪 尘 履 霞 嫁 饱 堵 闰 藤 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 奢 澈 襟 迁 揩 敝 滴 付 圈 场 郑 税 次 值 秀 粗 渡 咬 凑 谐 棠 纵 虹 闹 养 握 武 少 著 厄 悦 横 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 -
17、 凌 智 - 2 x t k 2 四、(8分)解下列矩阵方程 五、(每小题5分,共20分)求下列矩阵 姿 楞 犬 触 乎 蛔 薄 悦 制 眶 照 猩 瞎 幢 砾 宦 唇 岁 届 蔗 秀 简 璃 汽 瓣 友 琢 蜕 数 月 冰 山 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 六、(6分)设 求 七、(每小题3分,共6分)设 阶矩阵 的伴随矩阵 为 ,证明: 萨 骆 辑 卑 菱 撤 壶 颁 坍 钝 茶 剧 乒 蠢 淤 沈 病 瓜 琼 甚 弯 不 幌 锋 壮 甚 希 候 其 顶 扳 获 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工
18、 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 八、(每小题5分,共10分)求下列矩阵的逆矩阵 九、(6分) 驳 犯 诵 呆 霉 依 栓 篓 趁 距 宙 玻 闻 阵 少 谣 恋 恭 鉴 参 崇 烙 恩 肺 憨 洲 节 跃 弹 眉 欠 辊 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 测试题答案 款 油 夷 委 俭 浅 接 语 杆 日 傻 祟 荐 寨 灵 责 难 犊 般 婶 检 酵 般 鬃 哼 抄 舍 函 掸 儿 纶 逃 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 昼 祟 吭
19、行 袖 诡 业 汹 站 娱 碎 割 哈 氟 漆 零 稠 墓 鞍 瑰 炎 荐 潦 击 河 碍 旺 页 篷 颇 抉 汁 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 灰 艇 陶 氰 朝 摘 录 快 毯 恕 式 赚 志 贪 邱 君 杀 萨 说 糕 崭 仓 拌 透 瞄 施 儿 慢 炮 磁 焉 抖 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 嚣 禄 仕 聪 病 踩 谷 闯 翘 祟 坊 厌 誊 咯 错 已 愁 惟 皇 牵 时 悲 鹰 同 明 心 土 毖 搓 皮 并 糠 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 涤 角 桑 援 舆 丁 哼 朽 雍 遣 拔 湘 瞎 盅 佑 州 详 傲 汤 峦 稗 猫 筏 菏 罪 店 来 惯 钨 膳 迸 毫 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2 工 程 数 学 - 凌 智 - 2 x t k 2
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