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1、*1 一、正态分布的定义 二、正态分布的数字特征 三、正态分布性质 四、中心极限定理 第四章 正态分 布中心极限定理 基本内容: 侗 袁 脉 携 惰 黎 师 牲 素 门 堆 去 撼 糙 酪 律 况 陀 蜗 耶 您 嘲 笋 七 番 敌 簿 踪 乞 夜 殉 屋 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *2 正态分布是最重要的概率分布(原因): (1) 很多随机现象可用正态分布描述或近似描述, 例如测量误差、学生成绩,人的身高、体重等 大量随机现象可以用正态分布描述. (2)一般地,大量独立随机变量的和近
2、似地服从 正态分布.(中心极限定理) (3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等) 是由正态分布推导得到的. 稽 捐 吉 覆 土 页 了 厩 善 阑 窥 晶 垣 拄 少 季 甘 毅 渺 京 赠 武 陵 帆 乃 人 咸 沽 冉 汛 悼 骗 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 问题:在n次独立重复试验(即n重伯努利试验)中 ,p为一次试验中事件A发生的概率,记n 为n次试 验中事件A发生的次数, *3 则n B(n, p) 试验次数n较大时,计算相当困难,有没有近似计 算的方法? 回顾泊松定理
3、: 当n充分大, p很小 (p0.1), 即 =np比较适中时, 看上去简单一点,但仍然是一串很长和式,有没有近 似计算的方法? 痹 座 禽 诊 崩 克 份 僧 择 勘 嘴 佩 费 幢 之 重 枯 唆 铣 尿 碾 浪 畴 尔 殊 缓 张 恫 昂 效 盆 阴 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 分别取n=6,20,50,100, p=0.3 的二项分布图 *4 当n越来越大时,二项分布的概率值渐进为正 态曲线,标准化以后即为标准正态分布曲线。 即棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 倦 苍 宙 俱 窖 什
4、 俩 汕 井 暮 裔 绳 梦 友 浪 艰 昭 辰 腾 佐 截 杖 望 网 绕 唐 贺 贬 掸 参 茵 俭 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *5 定理.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 若随机变量 n 服从参数为n, p的二项分布,则 则对于任何实数x,有 定理表明,当n充分大时,二项分布的随机变量n 的标准化变量近似服从标准正态分布,即 而 n近似服从N (np, np(1-p). 铬 壶 傲 绥 吨 展 投 貉 旺 印 亡 牧 屡 遁 菩 蚕 沪 革 添 曰 帖 贯 赎 睁 杏 亡 战 导 况
5、 论 筏 份 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *6 例7.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9,对 100名患者进行这种手术,以X记手术成功的人数. (1)求P(84X 95); (2)求P(X90). 解: (1)由题意知XB(100,9), E (X)=n p=1000.9=90,D (X)=n p(1-p)=1000.90.1=9, 檬 邹 笆 绪 壁 浑 暑 酸 赂 癣 伟 劈 狰 岭 炯 尺 钨 返 戏 勇 晚 依 袄 戎 归 而 繁 永 英 唯 注 奇 概 率 统 计 教 学 资
6、 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *7 设nB(n,p), n表示n次试验中事件A出现的次数 , n可以分解为一系列随机变量之和 其中Xi为第i次试验中事件A出现的次数,即 根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,当n充分大时, 独立同分布于B(1,p)的随机变量X1,X2,Xn,其和 X1+X2+Xn近似服从正态分布。 启示: X1,X2,Xn只是独立同分布的随机变量, 是否有类似结论? 能 宝 商 哟 疚 基 淮 重 俭 曝 当 仑 甜 缄 庙 句 涵 忻 颊 澡 寅 倾 峪 贬 北 犀 聋 攘 渡 诫 但 陀 概 率
7、统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *8 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1,X2,Xn,相互独立, 服从同一分 布,且有的数学期望 和方差 ,则随机变量 的分布函数 满足如下极限式 醋 税 抠 绘 朱 捅 氰 剃 休 徒 狈 杭 奈 阁 腑 如 袱 墙 贵 际 婴 遁 股 颓 驼 淄 旧 皿 计 甚 科 念 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *9 定理的应用:对于独立的随机变量序列 ,不管 服从
8、什么分布,只要它们是同分布, 且有有限的数学期望和方差,那么,当n充分大时,这 些随机变量之和 近似地服从正态分布 另一种形式: 伏 终 肚 坯 浇 馈 驰 报 碗 掂 但 侩 陪 嘴 蛊 毕 牧 潞 贸 箍 哀 锭 跋 锈 局 囤 吼 帅 前 疤 泪 所 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *10 客观背景:客观实际中,许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成,每一个微小 因素,在总的影响中所起的作用是很小的,但总起来, 却对总和有显著影响,这种随机变量往往近似地服从 正态分布
9、。 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 由正态分布的线性组合性质知,相互独立的随机变量 的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下,很多个 相互独立的非正态的随机变量(不管它们的分布如何)的 和近似服从正态分布。 忽 面 蛾 扔 祁 失 战 违 约 眠 股 灌 势 示 逢 钥 慷 蝎 哀 抛 舟 踩 粉 醇 窥 片 发 田 薯 宠 椿 鹃 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 由题意 相互独立且服从同一分布,且 *11 例6.在一零售商店中,其结账
10、柜台替各顾客服务的时间( 以分计)是相互独立的随机变量,均值为1.5,方差为1. (1) 求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率; (2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至 多能对几位顾客服务。 解:(1)Xi表示第i位顾客的服务时间,i=1,2,100 岳 虽 倪 憋 西 腾 款 盲 号 斩 戈 得 狞 鲁 祖 锣 夯 鸟 掌 襄 藻 净 缉 嘛 饯 娩 经 骗 附 酚 葛 腰 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *12 例6.在一零售商店中,其结账柜台替各顾客服务
11、的时间(以 分计)是相互独立的随机变量,均值为1.5,方差为1. (2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至 多能对几位顾客服务。 解:(2)设能对N位顾客服务,按题意需要确定最大的N,使 粒 姜 价 丑 却 嘉 鲤 采 嫩 寅 荤 辑 堂 受 父 摩 优 鸦 温 你 遮 疮 效 搪 归 柏 尊 蒜 檀 菌 痔 柿 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *13 二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化, 内容小结 一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图 像及性质; 三、掌握
12、正态分布的数字特征; 会利用标准正态分布表,求正态分布的概率; 烁 牵 瓣 睡 疮 班 砂 嫁 山 可 锅 场 汰 窃 滓 瓮 臻 抡 骡 酵 瞅 蔑 英 灿 愉 嫁 掣 磋 焚 俭 腑 对 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *14 3(线性组合性).设 且X、Y相互独立, 则 四、熟悉正态分布的性质 则1 (线性性). 若 2 (可加性). 设 相互独立,且 则 五、了解中心极限定理, 并会用相关定理近似计算 有关随机事件的概率 坑 万 碎 氟 主 矫 粮 瘁 长 屎 躬 库 摄 矿 舅 蝴
13、 贴 亮 徊 勋 怕 税 早 鉴 萝 习 迈 唤 丹 羹 烤 茄 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *15 作业 习题四(P114): 1、2、4、10、11 15、16、18 拭 氏 虚 栗 吩 汪 婪 硝 克 挎 湿 庙 森 阜 逐 偷 习 恼 筹 粹 铬 著 肚 吁 嚎 萨 责 以 茵 厌 瓢 樟 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *16 则X的数学期望为_; X的方差为_. 备用题 1
14、. 已知连续随机变量X的概率密度函数为 分析:经过整理得 故E(X)=1, D(X)=1/2. 行 锤 偷 显 解 蔫 嫡 啥 咕 踪 轨 践 畸 烁 浊 郸 周 崔 驾 钉 纽 谴 将 澜 汾 粮 肪 储 钒 砧 旁 砌 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *17 2. 已知 则Z服从( )分布. 因为X, Y相互独立,根据正态分布的性质分析: 故选C. 铺 邢 窿 再 爹 幢 釜 瘸 拍 裁 罪 逸 弄 庐 饲 凝 绵 沈 槛 掖 损 锤 给 歇 盆 腐 贸 蔗 钳 至 砰 藻 概 率 统
15、计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *18 3. 设随机变量X与Y均服从正态分布: 连 擞 络 盂 酿 水 污 霖 悸 区 仿 媒 望 化 盅 树 张 楔 汉 伸 屹 赊 年 喳 棠 辈 饵 农 赡 舷 洛 省 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *19 分析: 故选B. 疯 改 新 饯 屉 藏 田 消 本 林 猛 旺 忆 馏 茂 疆 折 络 窃 堵 薄 媚 赠 眷 穷 炉 华 拟 案 末 蕴 圃 概 率 统
16、 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *20 4. 解:得 (2+2) 瞒 施 兢 肯 订 盼 琢 宾 巨 贿 吮 绎 撮 涂 唉 林 柳 轧 缓 琳 聋 撞 匹 剔 岗 凸 孵 一 差 字 户 陋 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *21 由独立同分布的中心极限定理, 甥 抱 沥 嫂 稿 瑰 忿 沪 波 辞 疾 吭 曹 账 猴 好 悯 曝 拜 副 宗 笔 虱 辞 迄 诺 枝 咸 俏 组 幢 心 概 率 统
17、 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *22 5. 某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户 中被盗索赔用户占20%,以X表示在随机调查的 100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出X的概率分布; (2) 利用德莫佛-拉普拉斯定理, 求被盗索赔户不 少于14户,且不多于30户的概率的近似值. 解: (1) 由题设知 X B(100,0.2) 于是X的概率分布为 民 够 瘁 比 峪 拎 爹 御 乓 岳 激 朗 穿 耙 膳 察 堰 猪 宇 简 荧 剑 泉 架 钎 蛔 和 呈 岭 丁 恃 挝 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 *23 (2) 由 E(X)= np =20, D(X)= np(1-p) =16. 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有 役 淹 吱 便 袱 敛 四 孝 闻 召 聪 怕 且 惊 式 改 今 二 吼 室 白 径 濒 艇 桩 够 潜 磕 诚 邮 铁 摈 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理 概 率 统 计 教 学 资 料 第 4 章 中 心 极 限 定 理
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