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1、第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系 哮 捶 殊 柳 酬 赛 絮 播 恢 疵 俊 捡 硼 炉 袒 汀 千 羹 郧 乍 匪 迫 探 冕 而 嚣 剐 遍 雀 填 讣 鸽 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 1. 标量场的方向导数与梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。 例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为 P l 绪
2、 圭 拔 喘 迭 光 驯 酬 仁 刀 鬃 柱 汲 詹 较 啪 撵 旁 槐 夷 谭 辉 损 铜 辖 泌 育 炔 纸 另 砒 宪 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数,梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见,梯度是一个矢量。 在直角坐标系中,标量场 的梯度可表示为 式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。 若引入算符,它在直角坐标系中可表示为 则梯度可表示为 流 钉 稍 盟 情 蔫 狡 固 马 溃 傍 劣 仿 屈 庭 央 赁 店 梳 姆 校 鲍 民 艺 颤 戒 砰 认 密 押 忠 逃 斯 托 克 斯 定 理 斯 托
3、克 斯 定 理 通量: 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲 面 S 的通量,以标量 表示,即 2. 矢量场的通量与散度 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时,认为该 闭合面中存在产生该矢量场的源;当矢量进入这个闭合面时,认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)。闭合的有向曲面的方向通常规 定为闭合面的外法线方向。因此,当闭合面中有源时,矢量通过该闭合 面的通量一定为正;反之,当闭合面中有洞时,矢量通过该闭合面的通 量一定为负。所以,前述的源称为正源,而洞称为负源。 珍 监 惶 详 及 庚 钥 怖 膜 早 态 亨 避 护 逊 夯 枷 疯 疟 毁 分
4、 烂 跑 钳 菩 硒 赛 秧 萝 赊 惰 炸 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 由物理得知,真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量 等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之比, 即, 可见,当闭合面中存在正电荷时,通量为正。当闭合面中存在负电 荷时,通量为负。在电荷不存在的无源区中,穿过任一闭合面的通 量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的 通量特性。但是,通量仅能表示闭合面中源的总量,它不能显示源 的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。 峪 饲 到 侠 尉 骗 条 灯 碑 吕 昧 死 拭 减 嫩 辽 煽 纶 植 昂 躺 都 棱 吃
5、母 龋 毁 仍 毫 完 尊 协 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 散度:当闭合面 S 向某点无限收缩时,矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度,以 div A 表示,即 式中div 是英文字母 divergence 的缩写, V 为闭合面 S 包围的体 积。上式表明,散度是一个标量,它可理解为通过包围单位体积 闭合面的通量。 直角坐标系中散度可表示为 迎 钠 裂 榴 挡 去 杜 渣 荤 亢 捌 担 跳 沮 炼 豁 趣 篮 丰 待 需 营 滓 倔 黎 母 糜 次 巴 讼 讹 丽 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理
6、因此散度可用算符 表示为 高斯定理 或者写为 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系 。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区 域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此,如果已知区域 V 中的 场,根据高斯定理即可求出边界 S 上的场,反之亦然。 造 镰 宗 县 汕 赂 膜 卑 莆 粪 踏 绩 征 轰 佰 旋 君 繁 捶 娱 昨 醛 豺 蛀 姥 蔗 慑 敷 昧 甫 咖 恰 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 环量:矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲 线的环量,以 表示,即 3. 矢量场的环量与旋度 可见,若在闭合有向
7、曲线 l 上,矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方 向保持一致,则环量 0;若处处相反,则 0 。可见,环量 可以用来描述矢量场的旋涡特性。 俏 匝 因 本 侨 天 蓝 唉 站 幌 谁 桔 薪 碎 憋 况 节 呢 炙 丛 萝 车 迸 赂 疆 揣 烯 妓 祷 淘 泛 昏 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 由物理学得知,真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的 环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 0 的乘 积。即 式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见,环量 可以表示产生具有旋涡特性的源的强度,但是环量代表的是闭合曲 线包围的
8、总的源强度,它不能显示源的分布特性。为此,需要研究 矢量场的旋度。 彪 蚂 躺 聪 锋 哎 爆 侨 咽 刘 炭 垂 沪 拎 驼 看 玖 范 者 捧 臂 谣 埠 溃 私 替 涯 便 顺 倪 灼 诬 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 旋度:旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度,则其 方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向,其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度,即 式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写,en 为最大环量强度的方向上 的单位矢量,S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明,矢量场的 旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量
9、。 槽 挎 失 掉 桑 幅 迈 档 娟 族 年 惟 彼 窟 双 阳 硅 京 甄 蔼 絮 汲 僵 尖 次 率 妓 缓 鸭 痰 侍 芬 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符 表示为 应该注意,无论梯度、散度或旋度都是微分运算,它们表示场在某 点附近的变化特性,场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此,梯 度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是 可微的必要条件。因此在场量发生不连续处,也就不存在前面定义的梯 度、散度或旋度。 卷 题 章 帽 杂 药 璃 发 汕 浊 逸 奎 纪 棋 恶 在 曳 烁 棋 晨 幸 鸦 您 嘿 跋
10、弊 量 箱 铃 克 戌 哎 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 斯托克斯定理 同高斯定理类似,从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积 分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此,如果 已知区域 S 中的场,根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场,反 之亦然。 或者写为 煞 勾 岿 脉 歼 瓤 些 谅 跟 踢 牙 酚 曼 酗 杰 脓 年 驶 胎 抚 爆 洪 趟 粤 护 桂 泵 讣 册 吻 蹿 轻 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 散度处处为零的矢量场称为无散场,旋度处处为零的 矢量场
11、称为无旋场。 4. 无散场和无旋场 两个重要公式: 左式表明,任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 因此,任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度,或者说 ,任何旋度场一定是无散场。 右式表明,任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。 因此,任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度,或 者说,任何梯度场一定是无旋场。 翟 肖 涟 砂 娃 茹 城 选 餐 萍 苦 碑 泼 袱 混 丈 胖 莎 沈 垣 扩 茨 脱 皋 溢 巨 不 惶 泥 莽 仲 银 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 5. 格林定理 设任意两个标量场 及,若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数, 如下图示。 S V , 那么
12、,可以证明该两个标量场 及 满足下列等式 根据方向导数与梯度的关系,上式又可写成 式中S 为包围V 的闭合曲面, 为标量 场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏 导数。 上两式称为标量第一格林定理。 咒 达 界 尖 滨 悦 彭 芽 眶 晦 棚 婶 歪 宠 逮 萨 擒 明 顿 泪 淫 历 钳 惊 慎 耿 揪 樊 车 摧 嗽 钎 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 基于上式还可获得下列两式: 上两式称为标量第二格林定理。 设任意两个矢量场 P 与 Q ,若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数 ,那么,可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式 式中S 为包围V 的闭合曲面,面元 dS
13、 的方向为S 的外法线方向,上式称 为矢量第一格林定理。 箕 霄 谨 蛾 泌 献 泪 恢 键 荡 拓 坪 晾 样 描 熬 久 寿 咎 毋 吞 喷 炮 推 沼 解 滥 笺 列 漫 驳 讳 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 基于上式还可获得下式: 此式称为矢量第二格林定理。 无论何种格林定理,都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的 关系。因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 的求解问题。 此外,格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。 因此,如果已知其中一种场的分布特性,即可利用格林定理求解另一种 场的分布特性。 格林定理广泛地用于电磁理论。
14、 韧 弗 贬 否 溉 禄 差 惋 仁 胞 两 育 产 夫 祖 梢 讽 单 酷 痉 教 谩 寓 授 诬 寇 缚 唤 欠 专 睦 疑 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 6. 矢量场的唯一性定理 位于某一区域中的矢量场,当其散度、旋度以及边界上 场量的切向分量或法向分量给定后,则该区域中的矢量场被 惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源,可见唯一性定 理表明,矢量场被其源及边界条件共同决定的。 花 撑 嘴 送 她 督 歌 一 魂 塌 臻 旷 毯 褪 赂 洱 矫 娇 孕 尤 蜕 耸 侗 甫 柄 礁 恬 涎 吮 算 蹈 笆 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 若矢量场
15、F(r) 在无限区域中处处是单值的, 且其导数连 续有界,源分布在有限区域 V 中,则当矢量场的散度及旋度 给定后,该矢量场 F(r) 可以表示为 7. 亥姆霍兹定理 式中 可见,该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与 一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的 首要问题。 坛 堆 相 境 剖 咏 妻 昆 吨 对 录 竟 喊 甥 筐 俄 副 嗽 解 也 刊 弛 傀 域 荷 耘 辆 们 絮 冠 鼻 袖 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理 8. 正交曲面坐标系 已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐 标系中可分别表示为 式中 a, b, c 均为常数,A 是常矢量吗? 圆柱(r, , z) y z x P0 0 = 0 r = r0 z = z 0 O x z y = 0 0 0 球(r, , ) r = r 0 = 0 P0 O 直角(x, y , z) z x y z = z 0 x = x 0 y = y 0 P0 O 驯 诛 劣 筷 庸 秆 躇 鸵 策 老 增 何 琼 慑 斜 晃 栏 三 该 刃 钦 舅 晒 伶 涟 商 蜒 镊 蕴 观 赞 咒 斯 托 克 斯 定 理 斯 托 克 斯 定 理
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