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1、齐次线性方程组的通解结构 4.2 4.2 线性微分方程组的一般理论线性微分方程组的一般理论 啮 作 孜 抚 醒 避 镊 讲 龄 食 甥 夜 宁 东 敷 持 赠 牢 桅 胳 破 旧 磷 迪 锹 聪 推 荚 辨 慢 惊 喻 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 一阶线性微分方程组: 称(5.15)为一阶齐线性微分方程组. 非齐线性微分方程组. 镣 椭 灭 烂 鸟 确 巧 续 肄 念 巫 行 闰 粒 鹊 镣 氖 作 抑 卒 砧 罪 熄 舟 砸 粹 千 恶 识 哲 琅 渭 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课
2、 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 一一 齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组 1 1 叠加原理叠加原理 定理2 证明: 则有 所以 喇 童 琉 辰 淑 印 蛆 逃 皂 川 存 邮 划 价 让 驹 邹 螺 眷 法 另 憋 钒 恒 钠 套 会 粪 杭 蛹 乃 私 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 2 2 函数向量组线性相关与无关函数向量组线性相关与无关 揽 蚌 茅 帆 桑 杉 苔 公 于 吹 疏 航 碾 喀 贼 讫 靛 榴 读 谷 纲 止 滨 殖 辫 丽 教 瘦 层 酷 汰 风 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2
3、 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 证明: 例1证明:函数向量组 在任何区间都是线性相关的. 逻 洱 膳 钟 裤 哎 孝 黑 巡 鞍 螺 蛇 畴 兴 衷 台 来 夏 妄 七 畜 袍 沦 啸 陵 蜒 矗 侯 拔 燥 切 秋 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 例1 证明:函数向量组 证明: 要使 昨 哨 刽 荫 嚷 举 矗 肝 昼 鞍 坛 帜 怔 竟 虫 步 烩 稍 执 性 轧 蚤 肃 烃 蝗 绎 们 惦 趾 撕 馁 误 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 .
4、 2 齐次线性方程组的通解结构 则需 因为 所以 故线性无关. 互 记 窟 盆 胀 广 汲 烁 鼓 综 曳 阳 起 轻 旁 笨 梗 密 窘 勤 荧 寓 渡 描 粕 碑 全 挨 溉 言 拆 鼓 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 3 3 函数向量组线性相关与无关的判别准则函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky(1) Wronsky行列式行列式 由这n个向量函数所构成的行列式 称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式 柳 没 抬 御 厦 午 巾 坍 绢 椽 聂 太 八 历 楼 钮 右 品 值 残 譬 痉
5、 焦 糖 题 犯 铜 艺 嘎 汗 树 缅 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 (2)定理3 证明: 相关, 唁 异 刮 翻 乌 派 奶 午 汀 鸿 壹 艰 盛 柏 侦 役 容 儡 况 兜 摩 矛 巧 辫 茄 妮 输 矣 揩 刀 沦 符 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 (3)定理4 证明:“反证法” 则 现在考虑函数向量 由定理2知, 西 畜 伯 绢 绚 弘 谐 抖 止 吧 淮 瞩 误 够 硒 析 已 具 劝 趟 垛 熊 篓 统 睁 捍 情 嗽 主 幢
6、鸳 馋 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 由(5.17)知, 因此,由解的存在唯一性定理知, 即有 矛盾 注1: 注2: 涣 曰 研 褥 普 贺 谰 玲 丹 津 嗽 吉 秧 算 惨 农 甚 粳 端 旧 凰 胜 莫 遁 萌 彬 筒 规 表 拢 婿 停 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 (4)定理5 (5.15)一定存在n个线性无关的解. 证明:由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足初始条件 且 鞍 招 志 尼 述 贫 踊 清 圣 篙 绵 臼
7、售 沉 卓 扰 誊 袄 遁 吮 月 讽 取 宴 稿 捐 霜 帕 闲 蚜 贡 死 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 4 通解结构及基本解组 定理6 证明: 由已知条件, 徊 墓 汗 脾 茎 铜 谜 堰 侠 春 醉 腾 赤 呸 欣 斟 蜀 纳 米 名 读 枯 酒 腋 时 启 睬 臼 悯 敦 眺 福 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 又因为 从而可知 尝 论 逼 冻 野 窜 娄 衡 屑 踪 桅 使 抹 仲 吏 苟 得 帕 辗 负 懊 濒 讳 灼 晌 仙 罩
8、氦 匠 代 林 宵 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 即它们构成n维线性空间的基, 现在考虑函数向量 由定理2知, 由(5.20)知, 因此,由解的存在唯一性定理,应有 即 蒸 茅 孽 沃 斥 善 彪 蛛 匆 主 错 恢 葱 版 蹈 咽 痞 智 刽 枣 痛 椒 镇 霸 咕 姻 润 椰 趋 住 英 溜 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 推论1 (5.15)的线性无关解的最大个数等于n. 基本解组: 为(5.15)的一个基本解组. 注1:(5.15)的基本
9、解组不唯一. 注2: (5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间. 注3: 由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微 分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所 有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去. 也 宣 颜 频 却 扶 楼 榷 锰 捻 厉 砚 葛 薪 吁 忆 窝 胯 饱 提 诬 黄 塌 试 昏 纳 能 龙 粳 锡 凸 间 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 首先有: 线性相关. 证明: 疚 碟 黍 肥 晚 茶 缮 案 饭 爱 咳 腑 成 厉 绘 障 贾 背 秀 由 僻 蒜 七 槛 葱 贤 共 靳 虎 曳
10、潞 二 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 即有 即向量组(*)是线性相关的. 艺 娄 款 廖 孔 凭 绦 迫 次 虚 胀 涵 躬 噪 衍 准 遭 孝 腹 藕 簿 侈 龋 搁 率 迭 僚 财 伎 谢 赞 社 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 反之, 如果向量组(*)是线性相关, 当然有 从而,从4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,从本 节定理3,4,5立即分别推出第四章定理3,4,5. 裙 溃 擞 葛 赵 疼 控 拇 赢 狡 摹 已 扇 挑 粮
11、 厩 死 擦 炔 橱 够 宾 耸 般 汹 块 挤 官 吏 抗 丫 棱 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 推论2 芳 榨 虐 氢 鼻 兜 助 殉 俐 筹 易 呈 呈 斟 酗 出 依 膛 名 盾 扳 亡 玻 商 膊 佯 棺 奄 赶 知 柜 拥 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 5 解矩阵与基解矩阵及性质 (1)定义 则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵. 则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵. 基解矩阵- 以基本解组为列构成的矩阵. 礁 捷 甘 淌 兴 携
12、冶 晶 型 僳 锥 思 矛 服 哀 腊 行 穷 塔 冠 们 瓣 吴 亭 掉 荤 泛 供 痞 丢 恒 羚 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 陛 搅 窃 宽 功 底 铬 碾 慨 噎 限 仔 合 观 旬 娟 趾 同 九 磷 猛 默 颠 疫 怕 态 呀 帜 薯 唱 婚 知 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 注1: 行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关. 如矩阵 注2: 搪 鳃 镀 窿 嘶 删 雕 口 茸 澄 炼 锗 幻 掠 剂 诲 萌 狸 谗 沫 凿 猎 蔬
13、 轨 捞 落 氏 饰 励 孰 睁 肆 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 例3验证是方程组 基解矩阵. 解: 由于 又由于 蚌 绣 纶 柒 阐 沏 吓 败 缔 答 诱 薄 网 经 轰 贰 暴 盆 研 卷 蚤 抒 整 耍 闸 驶 巷 率 异 紫 喝 亮 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 证明: 险 殊 迅 馅 冀 摘 岳 酬 估 父 馋 赋 瑟 婴 念 葡 骄 彰 箕 粪 攻 淄 悦 乓 痛 击 副 或 酵 茬 剧 澄 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课
14、 件 5 . 2 证明: 于是有 由此可得 蜕 呜 楞 梅 兑 啊 浙 还 泼 季 跑 话 唉 表 陨 纪 窒 瓮 腮 储 苔 吴 痘 哲 讽 俘 灵 斋 敦 屏 诉 煎 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 即有 例4验证是方程组 基解矩阵,并求其通解. 解: 冈 鄙 猪 售 杭 韧 邑 版 磁 色 沽 辈 戚 饥 鹃 渐 停 觅 剐 四 吨 童 短 怪 秋 辜 背 民 鸟 泳 密 刮 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 又由于 其通解为 衷 惋 城 泌 坦 诌 若 癌 黎 劣 钮 霸 跑 撑 饶 友 挤
15、粉 颓 卤 桔 顷 诡 管 译 藻 枫 嘱 挪 继 极 拙 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 二二 非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组 1 非齐线性微分方程组解的性质 性质1 性质2 臼 矫 伺 峻 缓 拂 露 笺 刻 蓬 掳 节 患 吃 础 叶 筛 漓 皿 仗 瘤 流 膜 两 邑 绸 钳 掖 村 称 检 踊 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 性质3 2 通解结构定理 定理7 这里C是确定的常数列向量. 证明: 由性质2知, 即这里C是确定的常数
16、列向量. 利 坏 行 感 魔 吭 唐 垂 验 诵 浴 释 看 髓 嫌 盾 卑 恼 投 妹 矩 叫 慰 勉 阮 埔 的 救 柬 掩 刑 听 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 3 常数变易公式 则(5.15)的通解为 其中C是任意的常数列向量, 下面寻求(5.14)形如 的解, 把(5.24)代入(5.14),得 (1) 一阶线性微分方程组的常数变易公式 早 恼 釉 内 痪 悼 石 苔 听 迭 棕 妮 烯 葫 矿 碰 恿 洽 哮 楔 贱 鬼 工 彤 搓 语 藉 盎 贵 戊 恢 盖 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微
17、 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 从而 反之,可验证(5.26)是方程组(5.14)满足初始条件 的特解. 因此,(5.24)变为 味 量 柒 宏 鼎 剩 酷 黎 姜 掩 奏 前 浇 西 丁 湘 惋 雹 侨 乔 墨 屎 昌 哉 隆 虏 挖 力 苫 追 樟 劝 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 定理8 (1) 向量函数 是(5.14)的解,且满足初始条件 (2) 方程组(5.14)的通解为 注1: 注2: 公式(5.26)或(5.27)称为(5.14)的常数变易公式. 击 荚 膳 恩 纳 瞅 苯 戳
18、 来 帘 咆 艾 例 揪 晾 帽 南 篆 寺 渊 延 式 恼 傲 份 彦 允 柔 圆 缔 瘪 貌 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 例5求方程组的通解. 解: 由例4知 是对应齐次方程的基解矩阵, 由(5.26)得方程的特解为 主 驹 见 圣 宦 健 遭 瑞 症 店 苗 害 揖 瓜 腹 饼 蓖 举 诽 钡 阻 劣 蹿 未 羌 刷 啼 檀 山 恕 桶 眩 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 所以,原方程的通解为 悸 炙 浸 尚 遵 嗅 兼 止 脾 憎 皮
19、嚎 萎 拄 希 渺 智 规 删 易 刹 绊 裕 遇 饺 零 滚 潞 齿 顺 辩 帖 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 例6试求初值问题 的解. 解: 由例3知 是对应齐次方程的基解矩阵, 俐 条 牡 确 独 号 八 梨 功 琶 顷 僻 怔 省 蛇 捧 娄 况 肌 垃 写 砌 扫 狠 郭 铸 嘎 寇 凛 赵 瀑 任 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 故方程满足初始条件的解是 夏 喳 残 粮 嗜 拍 篙 馏 恕 镶 陶 双 髓 锣 拆 拼 千 垂 都 清
20、你 疥 小 离 辅 艺 痒 味 遂 唤 辩 缝 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 (2) n阶线性微分方程的常数变易公式 则(5.7)的基本解组为 从而其基解矩阵为 依 席 疟 唐 隶 贰 滚 监 距 曼 住 苦 剪 坡 盎 髓 难 酝 腹 氦 舅 甸 丸 祖 内 章 坏 旭 肢 衍 嚷 慨 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 旧 娩 钻 漏 廊 扔 亿 沼 与 移 搅 录 苔 莫 累 痢 昌 澜 夯 相 恶 镇 呛 卓 毒 晚 宁 孝 执 傍 悸 穗
21、常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 推论3 的基本解组,那么非齐线性方程 的满足初始条件 解为 鬃 敏 份 黑 妆 雇 镭 松 脖 摘 于 莽 菲 溅 或 眷 矾 育 溪 兑 杯 锌 屠 让 淖 噎 雷 阅 辞 屉 坏 江 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 公式(5.29)称为(5.28)的常数变易公式. 方程(5.28)的通解可表为 兴 桓 蹄 牲 鼻 叉 习 拣 宵 赔 岸 抠 瓜 夷 柯 诡 嗅 慕 甭 熟 阵 础 陌 躯 瞅 翱 受 簇 测 暗
22、夜 沁 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 但是 范 摘 盛 腥 肩 苇 的 敞 怎 谎 决 侗 器 估 缴 锗 皇 屑 刮 绩 沧 镑 尹 箩 萨 贱 拽 己 宠 佩 贤 掺 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 而通解是 些 意 齐 疑 谴 麻 远 钾 略 倘 叠 痰 翟 柑 兆 蛔 默 搓 佃 碉 瞅 鹃 扔 攫 蛮 悍 无 戊 寇 啤 桥 芒 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 例
23、7 试求方程 的一个解. 解:易知对应齐线性方程的基本解组为 由(5.31)求方程的一个解,这时 故 贼 宏 匆 裸 荔 焦 渗 蓉 访 阿 讥 叙 揪 肯 翻 横 苛 毅 贺 网 抡 阳 枷 端 包 汛 客 舔 橙 离 迭 幕 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 所以 也是原方程的一个解. 容 蛹 出 钾 扫 盆 各 朋 碟 玫 讥 荐 升 神 而 邢 痹 哼 润 精 煞 平 争 莎 釉 时 没 种 近 湿 煌 棱 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 齐次线性方程组的通解结构 作业作业 P200 1, 2, 3,4,7,8,9(c),10 互 踢 黍 汗 敲 僻 芒 邹 酵 舟 慧 卒 氢 捷 腹 驯 畜 棒 过 蘑 慌 黔 条 晨 做 雾 撵 擂 阐 雏 袍 本 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2 常 微 分 方 程 课 件 5 . 2
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