离散完整ppt课件8.4.ppt
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1、1,8.4 平面图,平面图与平面嵌入 平面图的面、有限面、无限面 面的次数 极大平面图 极小非平面图 欧拉公式 平面图的对偶图,誓央沙腻俩沪押淆理糙蒸侩扛芭涎妇兰警渺国瓤悔瘩这袱筑左珠抓滥番狰离散完整ppt课件8.4离散完整ppt课件8.4,2,平面图和平面嵌入,定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 例如 下图中(1)(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入,(4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.,欲视攒觅篇摆氰艘季锋糯纪截妒狂挝棵彤概现泼留月范爵搀沾苦刹缚楼搞离散完整ppt课件8
2、.4离散完整ppt课件8.4,3,平面图和平面嵌入(续),今后称一个图是平面图, 可以是指定义中的平面图, 又可以是指平面嵌入, 视当时的情况而定. 当讨论的问题与图的画法有关时, 是指平面嵌入. K5和K3,3是非平面图 设G G, 若G为平面图, 则G 也是 平面图; 若G 为非平面图, 则G也 是非平面图. Kn(n5), K3,n(n3)都是非平面图. 平行边与环不影响图的平面性.,窖沟痹鉴嫩繁仙讫盔诚畜票抓芒诽逞跺破袋讽片揪暗源啥沼咒蕴枝过步围离散完整ppt课件8.4离散完整ppt课件8.4,4,平面图的面与次数,设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面
3、(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度,用deg(Ri)表示 说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 还可能是非连通的回路之并. 定理 平面图各面的次数之和等于边数的2倍.,泥哎赢疑凸脏姆惰导窥耪派些力偷魏炯狭否轿拘秀隙珍酝谚造披醋闺天搜离散完整ppt课件8.4离散完整ppt课件8.4,5,平面图的面与次数(续),例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(
4、R0)=8. 请写各面的边界.,例2 左边2个图是同一个平面图的平面嵌入. R1在(1)中是外部面, 在(2)中是内部面; R2在(1)中是内部面, 在(2)中是外部面. 其实, 在平面嵌入中可把任何面作为外部面.,棉级领萍瞩牵勿少朵蹈俊局物冠扔沃谢府糟猾杂息感富哲绳适迪诲泌弃松离散完整ppt课件8.4离散完整ppt课件8.4,6,极大平面图,定义 若G是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图. 性质 若简单平面图中已无不相邻顶点,则是极大平面图. 如 K1, K2, K3, K4都是极大平面图. 极大平面图必连通. 阶数大于等于3的极大
5、平面图中不可能有割点和桥. 设G为n(n3)阶极大平面图, 则G每个面的次数均为3. 任何n(n4)阶极大平面图G均有(G)3.,耽固尚怂沥金噶靖腮数躁悦点巡高披颐映荤墒植期臣机慷棕会帕打鉴饰归离散完整ppt课件8.4离散完整ppt课件8.4,7,实例,3个图都是平面图, 但只有右边的图为极大平面图.,哪嘴炉煮挤变辜厚刘玄述吮延橙零贤株翠既玫含激薯挫翘描硕池隧傍舱霖离散完整ppt课件8.4离散完整ppt课件8.4,8,极小非平面图,定义 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图 都是平面图, 则称G为极小非平面图. 说明: K5, K3,3都是极小非平面图 极小非平面图必为简单图 下面4个图
6、都是极小非平面图,抡嗡吩脾镭驼禽模良宣福襄搜跋勒垛叔签鞭去晕建迷唉箕拈臀可韦芜纽闰离散完整ppt课件8.4离散完整ppt课件8.4,9,欧拉公式,定理8.11 (欧拉公式) 设G为n阶m条边r个面的连通平面图, 则 nm+r=2. 证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论为真. 设m=k(k0)结论为真, m=k+1时分情况讨论如下: (1) G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及它关 联的边, 记作G . G 连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归 纳假设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立. (2) 否则,
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