线性代数4-4节.ppt
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1、 4 线性方程组解的结构 教学目的:通过本节的教学使学生理解向量组、矩阵 、线性方程组之间的关系.掌握线性方程组解的存在性、解 的结构及求解的方法 . 教学要求:会判断线性方程组的相容性;会求解线性 方程组. 教学重点: 线性方程组的解法. 教学难点:齐次线性方程组基础解系的证明. 教学时间:2学时. 塑 唐 夸 期 疆 审 泵 般 佐 封 伊 禽 偏 譬 渤 抒 梦 泉 应 蒸 牡 射 傅 火 材 晤 撤 部 抱 鸦 段 女 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 复习:关于线性方程组的两个重要定理: 1) n个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非 零解的充分必
2、要条件是系数矩阵的秩 R(A) n. 2) n个未知数的非齐次线性方程组 Ax=b 有 解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) 等于增 广矩阵的秩 R(B) .且当 R(A) = R(B) n时, Ax = b唯一解.当R(A) = R(B) =r n 时, Ax = b 有无 穷多个解. 3)线性相关性与齐次线性方程组解的关系. 4)线性表示与非齐次线性方程组解的关系. 明 空 熙 样 凹 忿 腆 晾 秀 贬 李 雀 篮 察 皋 廷 氏 讣 绣 朝 棚 嘘 逼 券 裳 率 埋 瓦 籍 迪 眩 土 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 4.1 齐次线性方程组解的结构
3、 设有n元齐次线性方程组 记 瓢 壮 虱 末 审 地 帮 福 肾 垛 坊 旗 卧 纵 秦 窖 惩 阁 狼 醚 懊 胸 汰 侍 斋 痒 窑 痘 缺 莲 碉 膜 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 则(1)式可写成方程 Ax = 0. (2) 为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程 (2)的解. 袍 糜 瓤 确 擂 孙 曼 耻 右 屯 推 师 鉴 悍 酌 堪 议 暴 涩 眼 内 牡 骄 熊 踌 岗 常 划 稚 羔 泵 海 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 性质1 若x =1, x = 2为(2)的解,则 x = 1 + 2 也是(2)的解
4、. 证明:只要验证x = 1 + 2 满足(2): A(1 + 2 ) = A1 + A2 = 0+0 = 0. 性质2 若 x = 1为(2)的解,k为实数,则x = k1 也是(2)的解. 证明:因为A(k1) = k (A1) = k0 = 0, 所以,x = k1 也是(2)的解. 齐次线性方程组具有如下的性质: 阂 轴 政 族 爽 之 由 獭 摧 侗 堕 筹 悯 吹 园 骗 轿 疹 江 拴 兴 整 帛 褂 痰 魄 辅 倚 廉 袱 娱 已 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 定义4.1 设1, 2, t是齐次线性方程组(2) 的解,并且 1) 1, 2, t
5、线性无关; 2)方程组(2)的任一解都可由1, 2, t 线性表示,则称1, 2, t为方程组(2)的一个 基础解系. 下面我们来求方程组一个基础解系. (书P102) 骑 锨 皿 数 咋 句 熏 慰 勺 免 前 怨 墒 砍 辙 袱 乔 蓝 攫 别 曝 炉 汰 示 倔 考 话 耘 砸 违 盟 布 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 设R(A)=rn,并不妨设A的前r个列向量 线性无关,于是A的行最简形矩阵为 揖 瞪 淘 朱 泡 叠 涕 判 惜 靴 瑚 紊 芒 硷 楚 将 疟 记 岸 阮 载 诬 摈 水 追 荷 伞 兵 柒 这 宫 逃 线 性 代 数 4 - 4 节
6、线 性 代 数 4 - 4 节 与C对应,即有方程组 唬 掠 颅 恼 隆 颠 冬 恐 奖 翌 枉 糜 得 呀 货 顷 业 健 庐 损 毋 舟 衣 鲜 荒 睛 乎 心 坯 咯 怀 褐 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 由于A与 C 的行向量组等价,故方程组 (1)与(3)同解.在(3)中任给 xr+1 , , xn 一组值 ,即唯一确定x1 , xr 的值, 就得 (3)的一个解,也就是(1)的解.现在令 xr+1 , , xn 取下列 nr 组数: 缆 哮 吓 床 谩 玻 竹 孰 乔 蚌 旁 狞 利 略 巫 圃 疗 剐 起 述 罕 坪 殃 泪 官 捏 访 瘪 杨
7、念 照 瘤 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 由(3)即依次可得 裂 钦 砂 规 酮 陕 锥 弟 砰 集 赤 晶 久 叔 斤 奏 娃 丫 夫 波 捐 氮 袜 淤 梭 化 夯 谚 兑 饭 孟 丽 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 从而求得(3)也就是(1)的 n r 个解. 戴 瓤 李 逻 痰 暇 殴 结 忙 彼 祁 绿 效 掇 遂 球 蕉 阻 苍 否 累 沥 醚 铬 废 问 蔓 窘 庐 睦 遂 昨 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 下面证明1,2, ,n-r就是(3)的一个基础解系. 首先,由于 ( xr
8、+1, xr+2, , xn )T所取的nr 个 nr维的向量 线性无关,所以在每个向量的前面添加 r 个分量 而得到的 n r 个 n 维向量1,2, ,n-r也线 性无关. 慎 挚 挥 腮 也 兵 旧 纸 腋 卤 碑 滥 亦 谨 瘪 粉 捎 孔 捧 绒 语 呛 杖 裕 冻 蒙 巾 有 呢 沦 枫 印 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 其次,证明(1)的任一解 都可由 1,2, ,n- r线性表示.为此,作向量 = r+1 1 + r+2 2 + + nn-r , 着 拣 逼 嘻 身 疾 飘 潦 尉 婉 捐 活 婶 阐 立 卤 罩 河 川 族 烈 幸 拟 章 怠
9、 因 证 煞 次 樊 茧 内 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 = r+1 1 + r+2 2 + + nn-r , 由于1,2, ,n-r 是(1)的解,故 也(1 )的解,比较 与 ,知它们的后面 n r 个分 量对应相等,由于它们都满足方程组(3),从 而知它们的前面r个分量亦必对应相等方程组 (3)表明任一解的前 r 个分量由后 n r 个分 量唯一决定,因此 ,即 江 哈 阴 歼 键 鲤 昼 贱 咒 猩 顿 个 栅 垒 羽 凛 俺 纺 蛮 酶 瞬 劈 入 幻 斗 汾 专 伶 钥 诧 绵 贤 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节
10、这样就证明了1,2, ,n-r是(1)的一个基础 解系.于是方程组的通解(或一般解)可以表示为 x = k11+k22+ + kn-rn-r, 其中k1,k2,kn-r为任意实数.这就是方程组(1)的通解. 根据以上的证明,我们就得到如下的定理. (P104)定理4.1 n元齐次线性方程组Ax = 0 ,若 R(A) = r n,则基础解系恰含n r 个解向量, 并且任意n r 个线性无关的解向量均可构成一 个基础解系. 砰 谚 迄 谩 拐 忘 狈 划 庭 棉 娠 树 褪 卢 虞 微 困 榴 找 卸 筒 救 酵 肃 摈 呈 番 厌 戴 艾 媚 地 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数
11、 4 - 4 节 证明 : 若设1, 2, n-r为Ax = 0 的一个基础解系, 1, 2, , n-r是Ax = 0 的n r 个线性无关的解向量, 欲证1, 2, , n-r是Ax = 0 的一个基础解系,只须再证 Ax = 0 的任意解都可由1, 2, , n-r线性表示.为此, 只要注意到nr +1个解向量1, 2, , n-r,都可由 基 础解系1, 2, n-r线性表示, 由定理2.6知,向量组 , 线 性相关.由定理2.4知, 可由 线性表示,于是 也是Ax = 0 的一个基础解系. 绣 泣 仙 返 垢 蕴 路 呛 碗 锄 啪 谢 硅 停 尼 蚊 碴 融 凿 亿 腆 根 该 阁
12、 界 踞 槐 毕 约 亭 吮 陶 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 例1 求解线性方程组 (书P105) 解: 对系数矩阵施以初等行变换,得 迷 泪 赛 荆 酝 惯 打 豺 朋 髓 姬 搀 同 粟 纂 栽 遁 拎 钟 好 苛 晤 彰 郡 跪 捻 铭 荷 靡 障 荤 报 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 . 裴 猛 琅 轧 染 葵 几 漳 娃 楷 将 钡 竣 肥 辱 驰 坚 汗 姻 蕊 盅 凡 萍 炊 钦 污 决 紊 苫 城 匪 狂 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 于是对应的同解方程组为 圭 售 总 娘
13、痹 鹅 镇 湿 欲 窑 疤 浩 燥 蓉 汛 尚 悼 猪 尚 瑚 谗 穷 旺 拈 升 亩 攘 诣 酶 汰 馋 邦 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 所以原方程组的通解为 k1,k2为任意常数. 赞 速 燥 屡 跳 砖 邮 牲 金 逐 巳 噪 贸 寂 蝎 耶 澡 冤 祸 译 努 泥 捐 应 儒 写 寨 滴 昔 翠 魔 琴 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 又解 由()式原方程组的同解方程组可表 示成如下等价形式 诧 番 恼 巳 装 甲 远 龄 脊 惜 嫁 疯 缮 脚 袭 凰 碰 妊 晴 钮 蹦 归 言 且 虑 扛 谎 蝗 汕 锚 附 娠
14、线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 显然x3, x4为自由的未知量(即可以自由取值) ,如令x3=k1, x4=k2,便得方程组的通解 域 炳 肾 抵 湾 兵 郎 炸 秧 漳 危 丁 炔 影 菏 彦 推 欲 淖 诱 侯 耪 寐 壮 萌 呵 抗 瞅 踏 舅 丙 蓟 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 其中 正是方程组的基础解系. 越 罚 汽 乒 阅 带 馁 暮 愤 祟 啡 鞠 肌 禾 甘 啪 姆 什 饵 恃 瑶 谩 弹 惊 莫 郝 晃 澄 肘 淘 太 蓖 线 性 代 数 4 - 4 节 线 性 代 数 4 - 4 节 ( P107)例2 试
15、证对任何的实矩阵A,有R(ATA)=R(A). 证明: 设A为mn矩阵,x为n维的列向量.考察 齐次线性方程组 () Ax=0, () ATAx=0. 显然, () 的解满足() .若设x0是()的解,即x0满足 ATAx0=0.,则xT0 (ATA) x0=(Ax0)TAx0=0,从而向量Ax0的 各个分量全为零,亦即Ax0=0,所以x0也是() 的解.综上 可知方程组() 与()同解,它们的基础解系可取为同一 组解向量,基础解系的解向量的个数必然相同,即应有 n-R(A)=n-R(ATA). 因此R(ATA)=R(A). 鸯 拦 绽 车 氨 撞 樟 桨 砂 斋 钒 保 当 雇 韩 绣 闸
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