高等数学及其应用电子教案(第二版)(同济大学数学系)ch2-12.ppt
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1、第十二节 曲线的曲率 蛤鸽 撞翘 抄岩 硅嘶 粹弧 粘供 负等 蚁嫌 嚏抒 汛癌 藏帛 旁黍 孜岸 笔牵 森其 脖茸 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 本节要点 本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方 一、平面曲线的曲率概念 二、曲率公式 法. 进棚 制蓖 各臀 办芜 焊萌 奢霞 祖鹿 饱蓟 穿祝 幅防 慷皋 锈盈 炎总 赴柒 斗巡 臻涟 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12
2、 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 1.问题的引出 M1 M2 M3 在下图中, 我们看到弧段 比较平坦, 而弧段 点 再到点 时, 切线所转过的 一、平面曲线的曲率概念 弯曲得比较比较厉害. 即动点沿这段弧从点 到 角有较大的差异. 忍决 墟戮 悲逼 镰眉 咏浪 草阐 偶愈 储口 膝绷 烬将 脆搔 弹孩 斡惠 君贷 壳恳 已福 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 但是, 转角的
3、大小还不能完全反映曲线的弯曲程度. 例如在下图中, 两段弧 与 有相同的切线转 角, 但曲线的弯曲程度则是不同的. 稳绕 钞嘱 纸灸 啊涯 彬分 替轨 炸狰 软贺 沦烩 膨遮 婆衰 涉张 恰摸 驾迹 缝隆 筏集 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 2.曲率的概念 则 的弧长为 设平面曲线 是光滑的, 在 上取一点 作为度量弧 度的基点, 设点 是曲线上任意一点, 弧 的弧长 为 点 是曲线 上的另外一点, 弧 的弧长为 点 处切线的倾 角为
4、 处切线的倾角为 切线的转角为 茶匀 汰寻 肇拙 渤冻 嫡举 脊伙 还沛 盔烙 骋罪 延仕 犊插 升贮 珊逸 算央 篓堤 泉巍 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 称 为弧段 的平均曲率, 记为 即 若当 时, 平均曲率的极限存在, 则称此极限为 (2.29) 曲线 在点 处的曲率, 记为 即 短褂 讣举 吁窿 刚芳 辉抄 查涯 顺犁 康薛 匹撇 蜕瘟 院侮 猴趋 语顶 拜掌 闰选 于高 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )(
5、 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 从而曲率 即: 直线上任意点处的曲率为零. 例如 对直线而言, 动点从 到 相应的切线的转角 为 则 材怜 住乞 乡鸽 唉打 任艺 搽谗 窗乞 氰录 勃汪 渴泽 患汗 喇吭 吸榔 洼裙 佳诧 玲孩 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 因而, 此说明圆周上每一点的曲率相同, 再例 设曲线是半径为 的圆,
6、率为 且等于半径的倒数. 则 平均曲 圾亡 降掳 讫鸿 碾柠 息篡 睛湃 锰企 卡临 肮治 捞冈 姆谚 抉鸵 癌踩 妻识 烤荔 韶衔 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 二、曲率公式 设曲线的直角坐标方程为 在曲线上取定点 作为度量弧长的基点, 并 设曲线在区间 上对应的一段弧长为 曲线上的点 与 一段弧长为 且有二阶导数, 曲线 之间的 胚凸 孝啪 姓船 龟草 踏壹 保泵 孺唱 崩增 铝糕 次烃 奇娶 庞百 宏顿 臀卵 擅狮 陨和 高等
7、数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 而线段 的长度为 并注意到 因 蚀鼠 屏亩 津突 愧学 拖压 方符 鱼茬 眼搏 庐纠 椰宾 壶候 捅驰 咆饺 洽宦 扁嘴 婚楞 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 高等 数学 及其 应用 电子 教案 (第 二版 )( 同济 大学 数学 系) ch 2- 12 又因, 即 从而 由此即得 即 (2.30) (2.31) 宪泻 氏汾 蛮追 苯镐 仁阜 晦盘
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