计算方法(七).ppt
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1、第6章 常微分方程的数值解法 链 翅 双 鹅 塞 址 留 毙 貌 窿 甘 写 洲 杖 芥 涂 洒 脸 问 印 方 棉 琴 梅 腰 辫 吠 俐 框 蹋 剁 埋 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 考虑虑常微分方程的初值问题值问题 (6- 1) (6-2) 则则(6-1)的解存在且唯一。 或与其等价的积分方程 ,对对任意 满满足Lipschitz条件,即存在常数 ,均有 若 篙 尚 琉 挺 皇 绪 织 让 垛 悄 它 淡 氖 硝 腆 焉 眼 六 贮 淆 过 面 饰 狈 毫 彝 定 陡 男 住 别 角 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 它是一种离散化方法,利
2、用这这种方法,可以在一系列事 先取定的 中的离散点(称为节点) 上求出未知函数之值值的近似值值 。而通常称为为初值问题值问题 的数值值解。 首先我们利用数值积分公式建立求解(6-1)或(6-2)的 数值方法。 什么是数值解法? (通常取成等距,即称为步长)其中 扰 陈 瓦 啦 在 典 闷 茫 勒 赡 懊 荤 虏 撂 诅 张 骚 倒 苦 呢 者 圃 帐 瞳 胞 俏 耕 糠 蠢 釉 郭 斧 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 6.1.1 基于数值积分的解法 由(6-2), 将节点取为 (6-3) 的近似值值 如果的近似值值 已经经求出,则则通过计过计 算(6-3)右端 项的数值
3、积分可求出 耸 涌 臆 涩 螺 塘 薄 盾 凌 捧 咽 眉 凄 驱 葡 惕 永 茅 冬 朋 哈 榴 抡 纷 弓 跃 唉 悍 仲 喜 鞭 泣 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 首先,对(6-3)右端积分项使用左矩形求积公式,则得 令 上式称为为Euler求解公式,又称矩形公式。 (6-4) 一、Euler法 赠 骡 魔 每 惯 署 败 玄 谩 稳 魄 惋 撤 翟 搅 沿 撂 找 赐 脖 少 擦 壳 箍 详 摔 援 佬 港 苫 狰 拄 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 欧 拉 Lonard Euler 莱昂纳尔欧拉(Lonard Euler, 17071
4、783)是历史上著作最多的 数 学家,被同时代的人称为“分析的化身”。人们评价他:“欧拉计算毫不 费力 ,就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样”,欧拉-算法学家,为解决 特 殊类型的问题设计“算法”的数学家。 欧拉的数学事业开始于牛顿去世的那一年(1727年)。他在1748年、 1755年和17681770所著关于微积分的伟大论著(无穷小分析引论、 微分学原理、积分学原理),立即就成为了经典著作,并且在四分 之三个世纪中,继续鼓舞着想成为大数学家的的年轻人。 欧拉1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔,其父是牧师,欧拉是能在任何地方、任何条件下工 作的几个大数学家之一。他常常抱着一个婴儿写作他
5、的论文,同时稍大一点的孩子们在他周围嬉戏 着。据说,在家人两次叫他吃饭的半个小时左右的间隔中,他就能草就一篇数学文章。 欧拉是为月球问题形成一个可计算解(月球理论)的第一人。 在生命最后17年中他完全失明,这并没有妨碍他的无以伦比的多产的;他既靠视觉又靠听觉记 忆。它还有惊人的心算本领,不仅心算算术类型的问题,也心算高等代数和微积分学中要求的更难 的问题。他那个时代整个数学领域中的全部主要公式,都精确地储藏在他的记忆中。 欧拉直到他临终的那一刻仍然神志清醒、思想敏捷,他享年77岁,于1783年9月18日去世。那 天下午她计算气球上升的规律消遣像往常一样,在他的石板上计算,然后他和家人一起吃晚饭
6、。 天王星是新近发现的,欧拉略述了对它的轨道的计算。过了一会儿,他让人把他的孙子带进来。在 与孩子玩和喝茶的时候,欧拉突然中风。烟斗从他的手里掉下来,他说了一句“我死了”,就中止 了他的生命和计算。 磷 朱 阔 舒 竖 啤 勒 届 履 贷 滦 倍 时 体 苍 裤 傅 涯 江 茂 市 着 奄 苞 踢 贪 酮 狰 佩 捣 砾 诗 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 用用EulerEuler公式计算初值问题公式计算初值问题 的解在 处处的数值值解 。 小数点后保留4位)。 例: (取步长 , 炕 侗 羊 脐 颜 舆 旁 妮 锹 兽 耳 牧 贵 豹 骂 撒 瘩 呐 涎 器 雪 帚
7、怠 伐 燥 坞 泽 笔 享 怔 刑 饥 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 解: 相应应的Euler公式: 由初值值,计计算得 筑 赔 艾 咬 墟 楔 阻 付 恕 粉 察 案 雪 三 琴 趁 矽 萎 挛 半 邹 装 产 笼 氢 喉 汇 债 谆 淫 尿 鲁 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) Euler法(切线法)的几何解释释 鸡 醛 甚 自 巩 痹 成 墨 廷 济 假 虏 然 褪 播 舞 亏 容 霹 惰 罗 摈 竖 伺 掀 与 氦 隋 巧 昧 墩 懦 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 隐Euler法 首先,对(6-3)右端积积分项项
8、使用右矩形求积积公式,则则得 令 上式称为为隐Euler公式,又称右矩形公式。 (7-4) 溅 蒋 耀 式 芳 漱 寺 折 盒 霍 矛 频 治 蒸 嘎 梦 螟 准 尝 炸 积 镇 投 剑 否 拔 祷 实 矛 放 烽 筹 计 算 方 法 ( 七 ) 计 算 方 法 ( 七 ) 二、梯形法 对(6-3)右端的积积分使用梯形求积积分式计计算, 则则得 令 上式称为为梯形公式,简简称梯形法 (6-5) 将Euler公式与隐式Euler公式做算术平均,也可得出梯形公式 穴 烙 私 英 兆 吸 脚 吝 绊 握 孰 思 踩 纪 殃 逛 刹 目 扳 赏 舆 晨 旧 俄 符 滑 肚 工 揩 煤 着 栋 计 算
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