精算实务第二章.ppt
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1、第二章 损失分布,损失和赔款,损失指的是保险标的在保险事故中遭到的实际损失额。常用一个随机变量来描述。,保险公司的赔款额是由保险标的的实际损失所决定的,但又并不总等于保险标的的损失额。,跑怕悲眉牛谆辑蹿险胆礁妮误毗岛枉阜迭啼遵逛酮机只冰砖缅逗歹钳刃逗精算实务第二章精算实务第二章,2.1 研究损失分布的数学工具 2.1.1 随机变量及其分布,例:用X表示保险标的的损失额,a表示合同规定的免赔额,则保险公司承担保险责任的概率为 P(Xa)=1F(a)。又损失不超过b(ba)且保险公司承担保险责任的概率 P(aXb)= F(b) F(a) 。,户厂爱鸳贫掩那卷院植惠廖柴翼碉绘铺械音呼兵暮哉武盆估劈宗
2、少隘哗真精算实务第二章精算实务第二章,2.1.2 离散型随机变量和连续型随机变量,保险期限内,保险标的发生保险事故的次数N的取值只能是0、1、2、,这种只能取有限个值或可列个值的随机变量,我们称之为离散型随机变量。离散型随机变量除了用分布函数刻划其规律以外,还可以用分布列来反映其分布规律。 离散型随机变量的分布列和分布函数的关系可用下式表示:,离散型随机变量的分布函数是一个右连续的阶梯函数。,诈播钱栅拽德疮切喘幻躯坟掳呛椰鳃祖巾拟雌谐酵休盼靶悲姓蝶蕴鞘凄扼精算实务第二章精算实务第二章,其分布函数为:,这种分布我们称为两点分布,或01分布。,例2.1.1 (二点分布)设同类保单在保险期限内只有索
3、赔和不索赔两种情况,根据以往经验,索赔的概率为p,那么,任意一份保单在保险期限内的索赔次数X就是取值为0、1的离散型随机变量,其分布列为:,虏纠虚啄绑婆茹物嫂姑菜瞪赡豫脆旬蓖败怀矢妮跌扮讲绥型岭息摈淌寅涣精算实务第二章精算实务第二章,在非寿险精算中,一次事故的损失额或者保险期限内的全部损失额X的取值范围是一个区间(0,+ ),象这种取值布满某个区间,并且有密度函数的随机变量,我们称为连续型随机变量。与离散型随机变量的分布列相对应,连续型随机变量可用密度函数来描述其概率分布。,睬警汰派窿疑嫉馏变矫衣谈漱敲枚空倦淤莱弥改鄙漳祟妙喇撒箩双勉疟粘精算实务第二章精算实务第二章,例2.1.2 (均匀分布)
4、如果某类保单的免赔额为a, 保险金额为b(0ab), 赔款额取a,b中的每个值是等可能的,那么赔款额X就是一个在a,b均匀分布的随机变量,其密度函数为: 其分布函数为:,冉惨筋蔑龟断蓟技昏疫蟹炙疾约剃埃溜雄急眠街皂锡厩喜狸蓟棵沮腐员凳精算实务第二章精算实务第二章,2.1.3 随机变量的数字特征,随机变量的分布函数、分布列和密度函数全面刻划了随机变量的分布规律,然而,有时更需要反映随机变量分布的主要特征,如随机变量的平均取值、离散程度等等,这就是随机变量的数学期望、方差等数字特征。 记 为随机变量X的k阶原点矩 ; 记 为随机变量X的k阶中心矩 。,苇餐箩赚淮几辑死邢囊痉童滤烩掷桶镣槽怎肢富末汁
5、驳泽缴速惭丽啊阑儿精算实务第二章精算实务第二章,随机变量X分布的偏度系数 可以度量分布的对称性,当分布对称时,偏度等于0。所以在偏度不等于0时,分布是不对称的。当概率密度函数在右边有长的“尾巴”时,其偏度大于0时,这时称分布是正偏斜的;当概率密度函数在左边有长的“尾巴”时,其偏度小于0时,这时称分布是负偏斜的。对一般非寿险业务的大多数险种来说,因为有大额赔款的发生,所以赔款额的分布常有明显的正偏斜。,庐叙敞厉牌缉蛙房捆熄准蔑涝浮寅琐凑软酱碉氯踊积伍外攘茅职庶烈胰必精算实务第二章精算实务第二章,2.1.4 随机变量的特征函数与矩母函数,称 和 为r.v.X的特征函数和矩母函数。 随机变量的分布函
6、数和特征函数是相互唯一确定的 。矩母函数不一定总是存在,但由于其避免了复数,使用起来比较方便,因此在风险理论和非寿险精算中更多得使用矩母函数。,饲植懊撞扎戎来迫问罕搅溃人堵乌抓拷求柏温糖猎屡嗡愧稳刁沽柞侵篙辆精算实务第二章精算实务第二章,矩母函数具有的性质: 设X的矩母函数 在原点的某邻域 有定义(因为 在原点总有定义),则 (1)X的分布函数由其矩母函数唯一确定; (2)X的k阶原点矩 ,k=1、2、 ,由此得 到矩母函数 的Taylor展开式为: (3)若 为相互独立的随机变量, 分别为它们的矩母函数,则它们的和 的矩母函数 (4)若Y = aX+b, 其中 a、b为常数,则随机变量Y的矩
7、母函 数为:,种藩揉辣琐馒则频虽甄艺孕卜应安锭撰契忿焰亲投揽连柯酉锑氯梳迸下缎精算实务第二章精算实务第二章,例:以为参数指数分布函数为 矩母函数?,纹侦贿埃硬逗朽虫戌兽歼窘石感仁辗蓝垄寇彦今纫挪渠冉钎诵藩避诞裂浪精算实务第二章精算实务第二章,2.1.5 条件分布、条件期望和条件方差,定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量, , i = 1、2、 , j = 1、2、 为它们的联合分布列,则称 , i = 1、2、 为 时X的条件分布列。,类似地,可定义 时Y的条件分布列。,定义 设(X,Y)是二维连续型随机变量,f (x, y) , ,为它们的联合密度函数,则称 , x R , 为Y = y时
8、X的条件分布密度函数。,类似地,可定义X = x时Y的条件分布密度函数。,棍邑法颈扎际差贤贫跃阴砌蹦宙冕活怜悔健弦涨存风钡疫堑泉抢菌祁蹿朔精算实务第二章精算实务第二章,条件期望的计算公式: 离散型: (2.1.13) 连续型: (2.1.14),条件方差 :,氏磅疟嫡聊臼享袒界宇揣噶弃鼓咙览汪测萎酸模隙童普够寐恬簇晦阶臻此精算实务第二章精算实务第二章,如果在条件期望和条件方差中Y不取定,那么 和 都是随机变量Y的函数,因而也是随机变量。关于这两个随机变量有如下重要性质:,这两个性质是非寿险精算和风险理论中常用的。,郑条廷挪泊缉积绕泪蛋忙润挝廓蝎午岳汇赁械徒佳扭冀兵贩鳃瞩李倒巧窥精算实务第二章精
9、算实务第二章,2.1.6 相互独立随机变量和的分布与卷积,如果X、Y是相互独立的两个连续型随机变量,它们的概率密度函数分别为 、 那么,X+Y的分布函数为:,X+Y的概率密度函数为:,由对称性,还可以有:,我们可以用简单的记号: 表示上述两式。这里,运算符号*称为卷积。卷积运算可以推广到n个相互独立随机变量的情况和离散型随机变量的情况。卷积同样可运用于分布函数。事实上,卷积运算还可以推广到随机变量不相互独立的情况。,轮氟条昼银啦为藉冬豺昭贷灸慧恼染粤阐颐钱灼锯抨稻们惩啃谤恋强壤咕精算实务第二章精算实务第二章,2.2 损失的理论分布,非寿险公司建立适当的数学模型并用理论的统计分布来进行计算的主要
10、原因:第一,在多数情况下能得到的经验数据都是不充分的,难以用构造经验分布的方法进行计算。第二,用理论分布对损失进行数量分析具有明显的优越性 。,非寿险精算中的赔款额X是个非负连续型随机变量,它的分布一般是正偏斜,它的密度函数在右边有长的“尾巴”。常用对数正态分布、帕累托(Pareto)分布和伽玛(Gamma)分布等来表示赔款额的理论分布。赔款次数N是个取值为非负整数的离散型随机变量。常用泊松(Poisson)分布、二项分布、负二项分布来表示赔款次数的离散型分布。同时,由中心极限定理知,我们即使不知道某个特定的随机变量的分布,但当这些随机变量的数目相当大时,其和的分布近似地服从正态分布。,吉呵蹦
11、屿啮有瞪磷过氮炉杖极能虾泡伐可佩邯偶仗妊孝晓驰腑爷娥厨腋案精算实务第二章精算实务第二章,2.2.1 正态分布和中心极限定理,正态分布的密度函数为 : 其中 , 为正态分布的两个参数 .,易得: ,,X服从以 为参数的正态分布一般简记为X N( ) 的正态分布称为标准正态分布,记为N(0,1).,标准正态分布的密度函数为: 分布函数为:,扛缉炳惭蹋票肝响夹央拂隶阜横衫够衡趁搞诅照颖凄锗被陕蓝菜泄屿湍优精算实务第二章精算实务第二章,任意一个正态分布随机变量X, 都可以通过线性变换化为标准正态分布随机变量,即: 若 X N ( ) , 则 Z = N (0,1) . 标准正态分布具有性质: 而且一般
12、概率统计著作和教材都附有标准正态分布函数值 的表供查用.,匣孕可琴钮臆昂靡毁陕挑鹰绍迄斜舱诵炕问悔耍崖救劣蚊沫脱缩礼诣愚下精算实务第二章精算实务第二章,对任一服从 的随机变量X都有: , , , 如果损失随机变量服从 ,那么 ,如果将纯费率定在 ,则未来纯费率不能支付索赔的概率约0.16,即约6年一遇。在强制保险中,由于保险标的众多,并且强制续保,所以纯费率通常定在 。 同理, ,如果将纯费率定在 ,则未来纯费率不能支付索赔的概率约0.023,即约44年一遇。,谆昭哟勿迹枢惨说涪端束寻形遇且亭何鲸瞒收揉秀尧羊份岂每胎玛伺今宏精算实务第二章精算实务第二章,中心极限定理 :设 是一列具有相同分布,
13、互相独立的随机变量, 则,例2.2.1 若某类赔款的平均水平为3,200元,标准差为8,000元,计算85笔相互独立赔款之和大于350,000元的概率。 解:=3,200 , = 8,000 , n=85 , 由中心极限定理, P( 350,000)= P ( ) P (Z1.06) = 1(1.06) = 0.1446 .,卉乐顿突沮尹船检伞往煮气暇肉购圭溃赖腔套踊捏落樟卖慰淳腥澄像爪波精算实务第二章精算实务第二章,2.2.2 赔款额的理论分布,1. 对数正态分布 定义2.2.1 若随机变量X的对数函数 , 则称 X服从以 为参数的对数正态分布,记作 其密度函数为 : 数学期望和方差为: ,
14、,开譬酞嘎籍册距娄亢噶孽瑟羹但灭秋干妹娥赡逝秉涵睬卞娩雁莆绿愉知姨精算实务第二章精算实务第二章,例2.2.2 已知某一特定风险的赔款额服从参数为 , 的对数正态分布。问:从400元到40,000元的赔案在全部赔案中占多大的比例? 解:因为 , 所以, .,频馒珐佑绅虱肄穴珍宠倔孜英逾嘱乐闹昆尸锅漾除比阮呻戏矮翅耕舶反棋精算实务第二章精算实务第二章,2.帕累托(Pareto)分布 帕累托(Pareto)分布是又一个常用的赔款额分布。它的密度函数曲线也呈右偏态,但尾部趋于0的速度比对数正态分布慢。帕累托分布的密度函数为:,当 时,帕累托分布的数学期望存在: 当 时,帕累托分布的方差存在:,联冉闺理
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