投资的收益和风险问题线性规划分析.docx
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1、.投资的收益和风险问题线性规划分析1 问题的提出市 上有 n 种 (如股票、 券、 )Si( i 1,n)供投 者 ,某公司有数 M 的一笔相当大的 金可用作一个 期的投 . 公司 分析人 n 种 行了 估,估算出在 一 期内 S i 的平均收益率 r i ,并 出 S i 的 失率 q i .考 到投 越分散、 的 越小,公司确定,当用 笔 金 若干种 , 体 可用所投 的S i 中最大的一个 来度量 .购买 S i要付交易 , 率 p i ,并且当 不超 定 u i ,交易 按 ui 算(不 当然无 付 ) . 另外,假定同期 行存款利率是r ,0且既无交易 又无 .(r 05)已知 n
2、4 的相关数据如下:n的相关数据Sr( )q ( )p ( )u ( 元)iiiiiS1282.51.0103S2211.52.0198S235.54.5523S4252.66.540 公司 一种投 合方案,即用 定的 金M,有 地 若干种 或存 行生息,使 收益尽可能大,而 体 尽可能小.2 模型的建立模型 1. 体 用所投 Si 中的最大一个 来衡量,假 投 的 水平是k,即要求 体 Q(x) 限制在 k以内: Q(x) k 模型可 化 :maxR xs.t.?Q xk ,Fx M ,x0模型 2.假 投 的盈利水平是h ,即要求 收益 R( x)不少于 h :R( x);.h,则模型可转
3、化为:min Q xs.t.R x hF x Mx 0模型 3. 要使收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重.因此,假定投资者对风险收益的相对偏好参数为( 0),则模型可转化为:minQ x ?(1 ?) R xs.t.Fx Mx03. 模型的化简与求解由于交易费 c i (x i ) 是分段函数,使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂,是一个非线性规划问题, 难于求解 . 但注意到总投资额 M 相当大,一旦投资资产 S i ,其投资额 x i 一般都会超过 u i ,于是交易费 c i (x i ) 可简化为线性函数cix
4、ipi xi . 从而,资金约束简化为nnF ( x)fi ( xi )(1pi )xiMi0i0净收益总额简化为nnnR( x )Ri ( xi ) ri xi ci ( xi )( ri pi ) xii 0i0i 0在实际进行计算时,可设M=1,此时yi(1pi)(xi i0,1, , n)可视作投资 S i 的比例 .以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.1)模型 1的求解模型 1 的约束条件 Q(x) k 即Q( x )max Qi (xi )max( qi xi )k ,0 in0 in所以此约束条件可转化为;.qi xik( i0,1, , n) 模型 1 可化 如下
5、的 性 划 :nmax(ripi )xii0s.t. qixi k,i =1, 2,L , nn(1pi ) xi1, x0i 0具体到 n=4 的情形,按投 的收益和 中表3-1 定的数据,模型 :Max0.05x 0+0.27x 1 +0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4s.t. 0.025x1k,0.015x 2 k,0.055x 3k,0.026x 4 k,x0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3 +1.065x 4=1,xi 0(i 0,1, 4)利用 MATLAB7.0求解模型 1,以 k=0.005 例: 出 果是0.177638, x0 0.1581
6、92, x1 0.2,x2 0.333333, x3 0.0909091,x 4 0.192308 明投 方案 ( 0.158192 ,0.2 ,0.333333 , 0.0909091 ,0.192308 ) ,可以 得 体 不超 0.005的最大收益是 0.177638M.当 k取不同的 ( 00.03 ), 与收益的关系 下 :0.30.250.2益收0.150.10.0500.0050.010.0150.020.025风 险 a模型 1 与收益的关系 ;.输出结果列表如下:模型 1的结果风险 k净收益 Rx0x1x2x3x400.051.00000.0020.1010550.66327
7、70.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.07272730.1538460.0060.20190800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.22556900.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.251
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