二阶倒立摆实验报告.docx
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1、研究生课程报告二阶倒立摆的控制二阶倒立摆的控制指导老师:屈桢深问题描述小车质量 0.8kg,摆杆 1 质量 0.3kg, 摆杆长度 1.0m;摆杆 2 质量 0.1kg, 摆杆长度 0.5m。要求:设计 NN 控制器,满足指标要求: 0.2Hz 正弦信号幅值裕度 10%, 相角裕度 2 阶倒立摆。一阶倒立摆建模小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动,保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置(线位移和角位移)。小车在轨道上可以自由滑动。单级倒立摆系统数学模型.N 和 P 分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。分析小车水平方向所受的合力,可得到方程为:M xFbx
2、N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:Nd2xl sinm2dtNmxmlcos ml 2 sin把这个等式代入式中,得到系统的第一个运动方程:Mm xbxmlcosml2 sinF为了推出系统的第二个运动方程,对摆杆垂直方向的合力进行分析,得到下面的方程:Pmgd2l cosm2dtP mgmlsinml 2 cos力矩平衡方程如下:PlsinNl cos I方程中力矩的方向, coscos ,sinsin ,故等式前面有负号。合并这两个方程,约去P 和 N,得到第二个运动方程:.Iml 2mgl sinml x cos假设与 1(单位是弧度)相比很小,即1,则可进行近似处理:,
3、d2cos1,sin0dt用 u 代表被控对象的输入力,线性化后两个运动方程如下:Iml 2mglmlxMm xbxmlu对方程( 7)进行拉普拉斯变换,得到:Iml 2 (s) s2mgl (s)mlX ( s)s2Mm X (s)s2bX (s) sml (s)s2U (s)推导时假设初始条件为0 则摆杆角度和小车位移的传递函数为:(s)mls2X (s)(Iml2 )s2mgl摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:( s)mlA(s)Iml 2 s2mgl摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:.(s)ml s22 )qF (s)4b( Iml3(M m)mgl2bmglsqsssqqq
4、 (Mm)( Iml 2 )m2l 2以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为:0100&( Iml2)b22xx0m gl20&m)Mml2I (Mm)Mml&xI ( Mx&0001&0mlbmgl(Mm)0m)Mml2I (Mm)Mml 2I ( M0Iml2I (Mm)Mml 20umlI (Mm)Mml 2xx100&0y0 xu00100&以小车加速度 作为输入的系统系统状态空间表达式:x&0100x000001&xx&u 00010&003g0&34l4l.xyx1000&0ux00100&2 系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统:XAXBuyCXDu系统状态完全可控的条
5、件为:当且仅当向量组 B , AB ,., A n 1 B是线性无关的,或 nn 维矩阵 B ABA n 1 B 的秩为 。n系统的输出可控条件为:当且仅当矩阵CBCABCA 2 BCA n 1 B D 的秩等于输出向量 y 的维数。应用以上原理对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度的夹角时的系统进行可控性分析即可。二阶倒立摆建模在忽略了空气流动,各种摩擦之后,可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆的系统,如图所示。.图 1 直线两级倒立摆物理模型下面利用拉格朗日方程推导运动学方程。拉格朗日方程为:L q, q&T q,q&V q, q&dLLdtq&qfiTTM Tm1 Tm2 Tm3Tm1Tm
6、1 Tm1Tm2Tm2 Tm21&2TMMx2.1dxl1 sin2dl1 sin2Tm111m1dtdt212&122&mlcosml&m xx11111 11 122Tm11211221222J p 123ml111ml11 16Tm11&2&122 &2Tm1Tm1m1 xm1 l1 x1 cos3m1 l1 12同样可以求出1 m221 m22Tm2d ( x2l1 sin1l 2 sin 2d (2l1 cos1l2 cos2 )2dt2dt1&21&2m21 cos1l2 2 cos 2m22l1 1 sin1l2 2 sin2x 2l12212112212&2Tm2J2 223m
7、2l 226m2l 2 2212&Tm2Tm2Tm2m2&1 cos1 l 22 cos 2x2 x 2l12122422&2m2 4l113l224l1l 21 2 cos21因此,可以得到系统的总动能为:.TTMTm1Tm 21212&22 &22Mx&2m1 x&m1l1x& 1cos13m1l1112&m22l11 cos 1l22 cos22x2x122422&m24l1&l 2&4l1l2cos21321221系统的总势能为:V Vm1 Vm 2 Vm 3m1 gl1 cos 1m2 g 2l1 cos 1l 2 cos 2从而拉格朗日算子:LTV12122222Mx&m1 x&m
8、1l1x&1cos 1ml11&1231 mx&22x& 2l&cosl& cos221112221m4l224224l l& cos2&l&2113221 21221m1gl1 cos 1m2 g2l1 cos 1l 2 cos2由于因为在广义坐标1 ,2 上均无外力作用,有以下等式成立:dLLdt&011dLLdt&022对 1 , 2求解代数方程,得到以下两式.&(3(2gm sin14gm sin14m g sin13m g cos(21)sin2112326m2 l1 cos( 12 )sin(24m2 l2 sin( 122m1 &xcos 112 ) &12 ) &24m2 &x
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