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1、 一元一次方程提高试题讲练一 分类讨论例1 a取什么值时,方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解?无解?有无数多解?是正数解?解:当a0且a2 时,方程有唯一的解,x=当a=0时,原方程就是0x= 8,无解;当a=2时,原方程就是0x=0有无数多解由可知当a0且a2时,方程的解是x=,只要a与4同号,即当a0且a2时,方程的解是正数。例2 k取什么整数值时,方程k(x+1)=k2(x2)的解是整数?(1x)k=6的解是负整数?解:化为最简方程(k2)x=4当k+2能整除4,即k+2=1,2,4时,方程的解是整数k=1,3,0,4,2,6时方程的解是整数。化为最简方程kx=k6,当k0时x=1,
2、只要k能整除6,即 k=1,2,3,6时,x就是整数当k=1,2,3时,方程的解是负整数5,2,1。例3 己知方程a(x2)=b(x+1)2a无解。问a和b应满足什么关系?解:原方程化为最简方程:(ab)x=b方程无解,ab=0且b0a和b应满足的关系是a=b0。例4a、b取什么值时,方程(3x2)a+(2x3)b=8x7有无数多解?解:原方程化为最简方程:(3a+2b8)x=2a+3b7,根据0x0时,方程有无数多解,可知当时,原方程有无数多解。解这个方程组得答当a=2且b=1时,原方程有无数多解。例5 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0解 把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0,
3、整理得 m(m+n)x=n(m+n)当m+n0,且m=0时,方程无解;当m+n=0时,方程的解为一切实数说明 含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论例6解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2解 将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2, 即 (a2-b2)x=(a-b)2(1)当a2-b20时,即ab时,方程有唯一解(2)当a2-b2=0时,即a=b或a=-b时,若a-b0,即ab,即a=-b时,方程无解;若a-b=0,即a=b,方程有无数多个解例7 已
4、知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,所以m2-1=0,即m=1(1)当m=1时,方程变为-2x+8=0,因此x=4,代数式的值为199(1+4)(4-21)+1=1991;(2)当m=-1时,原方程无解所以所求代数式的值为1991例8已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值解 将原方程变形为2ax-a=3x-2,即 (2a-3)x=a-2由已知该方程无解,所以例9 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数?解 按未知数x整理
5、方程得(k2-2k)x=k2-5k要使方程的解为正数,需要(k2-2k)(k2-5k)0看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因为k20,所以只要k5或k2时上式大于零,所以当k2或k5时,原方程的解是正数,所以k5或0k2即为所求例10若abc=1,解方程解 因为abc=1,所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明 像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化例11 若a,b,c是正数,解方程解法1 原方程两边乘以abc,得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移项、合并同类项得abx-(a+
6、b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0,因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因为a0,b0,c0,所以ab+bc+ac0,所以x-(a+b+c)=0,即x=a+b+c为原方程的解解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3,再拆为三个“-1”,并注意到其余两项做类似处理设m=a+b+c,则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0所以x=a+b+c为原方程的解说明 注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一例12 设n为自然数,x表示不超过x的最大整数,解方程:分析 要解此方程,必须先去掉 ,由于n是自然数,所以n与(n+1) ,nx都是整数,所以
7、x必是整数解 根据分析,x必为整数,即x=x,所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解例13 已知关于x的方程且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值解 由原方程可解得a最小,所以x应取x=160所以所以满足题设的自然数a的最小值为2练 习1. 关于x的方程ax=x+2无解,那么a_2. 在方程a(a3)x=a中,当a取值为时,有唯一的解;当a时无解;当a时,有无数多解;当a时,解是负数。3. k取什么整数值时,下列等式中的x是整数? x= x= x= x=4. k取什么值时,方程xk=6x的解是 正数? 是非负数?5. m取什么值时,方程3(m+x)=
8、2m1的解 是零? 是正数?6. 己知方程的根是正数,那么a、b应满足什么关系?7. m取什么整数值时,方程的解是整数?8. 己知方程有无数多解,求a、b的值。练习参考答案1. 139无解无解无数多个解2. a=1 3. a3,a0;a=3;a=0;a3且a04.k=1,2,42,0,3,1,4,2,7,51,34,5,02()5.k0 8. 化为最简方程mx=m+3, 当m=1,3时,有整数解9.化为最简方程(3ab)x=b+2 当时方程无解,解得几种类型的一元一次方程的解法 例1.(2001年湖南常德中考题)已知,则( ).(A)1 (B) (C)1或 (D)无解例2.(1996年“希望杯
9、”赛题)若则( ). (A)0或2 (B) (C) (D)0 例3.(2001年重庆市竞赛题)若.则等于( ). (A)20或21 (B)20或21 (C)19或21 (D)19或21练 习1.(1997年四川省初中数学竞赛题)方程的根是_.2.(2000年山东省初中数学竞赛题)已知关于的方程的解满足,则的值是( ).(A)10或 (B)10或(C)10或 (D)10或3.(2000年重庆市初中数学竞赛题)方程的解是_.例4.(“迎春杯”竞赛题)解方程练 习1.(2000年“希望杯”竞赛题)若,则等于( ).(A)2007 (B)2007 (C)1989 (D)19892.(“江汉杯”竞赛题)方程共有( )个解.(A)4 (B)3 (C)2 (D)1例5.(第11届“希望杯”竞赛题)适合的整数的值的个数有( ).(A)5 (B)4 (C)3 (D)2例6.(1999年武汉市竞赛题)若则使成立的的取值范围是_.练 习1.(1998年“希望杯”竞赛题)适合关系式的整数的值是( ).(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2的自然数2.(“祖冲之杯”竞赛题)方程成立的未知数的取值范围是_.例7.解下列关于的方程: .例8.解关于的方程:.练 习解关于的方程.
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