2006年考研数学一真题及答案.doc
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1、2006年考研数学一真题及答案2006年考研数学一真题一、 填空题(1小题,每小题4分,共4分。)(1) limx0xln(1+x)1-cosx= 。【答案】2。【解析】等价无穷小代换:当x0时,ln1+xx,1-cosx12x2所以limx0xln(1+x)1-cosx=limx0x212x2=2综上所述,本题正确答案是。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较(2) 微分方程y=y(1-x)x的通解为_。【答案】y=Cxe-x(x0),C为任意常数。【解析】原式等价于dyy=1-xxdxdyy=1-xxdx lny=lnx-lnex+lnC(两边积分)即y=Cxe-x
2、(x0),C为任意常数综上所述,本题正确答案是y=Cxe-x(x0)。【考点】高等数学常微分方程一阶线性微分方程(3) 设是锥面z=x2+y2(0z1)的下侧,则 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy= 。【答案】2。【解析】设1:z=1(x2+y21),取上侧,则 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=+1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy-1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy而+1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=V 6dv =602d01rdrr1dz=21 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=0所以 xdydz+2ydzdx+3z-1
3、dxdy=2综上所述,本题正确答案是2。【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(4) 点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d= 。【答案】2。【解析】点到平面的距离公式:d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2其中(x0,y0,z0)为点的坐标,Ax+By+Cz+D=0为平面方程所以d=|32+41+50+0|32+42+52=2综上所述,本题正确答案是2。【考点】高等数学向量代数和空间解析几何点到平面和点到直线的距离(5) 设矩阵A=21-12,E为二阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则B=_。【答案】2。【解析】BA=B+2E BA-E=2E
4、 B(A-E)=2E BA-E=22=4因为A-E=11-11=2,所以B=2。综上所述,本题正确答案是2。【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质线性代数矩阵矩阵的线性运算(6) 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,则PmaxX,Y1=_。【答案】19。【解析】本题考查均匀分布,两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件maxX,Y1=X1,Y1=X1Y1, 又根据X,Y相互独立,均服从均匀分布,可以直接写出PX1=1313=19。综上所述,本题正确答案是19。【考点】概率论多维随机变量的分布二维随机变量的分布二、 选择题(71小题,每小题分,共32分,下列每
5、题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)(7) 设函数y=f(x)具有二阶导数,且fx0,fx0,x为自变量x在点x0处的增量,y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若x0,则(A)0dyy (B)0ydy(C)ydy0 ()dyy0【答案】A。【解析】【方法一】由函数y=f(x)单调上升且凹,根据y和dy的几何意义,得如下所示的图由图可得0dyfx0+fx0x,x0,于是fx0+x-fx0fx0x0,x0,即0dyy综上所述,本题正确答案是A。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念,导数的几何意义和物理意义(8) 设f(x,y)为连续函数,则04d01f(rc
6、os,rsin)rdr等于()022dxx1-x2f(x,y)dy (B) 022dx01-x2f(x,y)dy(C)022dyy1-y2f(x,y)dx (D)022dy01-y2f(x,y)dx【答案】。【解析】如图所示,显然是y型域,则原式=022dyy1-y2f(x,y)dx综上所述,本题正确答案是C【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(9) 若级数n=1an收敛,则级数() n=1an收敛 (B) n=1(-1)nan收敛() n=1anan+1收敛 () n=1an+an+12收敛【答案】D。【解析】由n=1an收敛知n=1an+1收敛,所以级数n=1an
7、+an+12收敛。综上所述,本题正确答案是D。【考点】高等数学无穷级数收敛级数的和的概念(10) 设f(x,y)与(x,y)均为可微函数,且y(x,y)0。已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件x,y=0下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若fxx0,y0=0,则fyx0,y0=0(B)若fxx0,y0=0,则fyx0,y00(C)若fxx0,y00,则fyx0,y0=0(D)若fxx0,y00,则fyx0,y00【答案】D。【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。作拉格朗日函数Fx,y,=fx,y+x,y, 并记对应x0,y0的参数的值为0, 则Fxx0,y0,0
8、=0Fyx0,y0,0=0, 即fxx0,y0+0xx0,y0=0fyx0,y0+0yx0,y0=0, 消去0得:fxx0,y0yx0,y0-fyx0,y0xx0,y0=0, 整理得:fxx0,y0=1yx0,y0fyx0,y0xx0,y0 (因为yx,y0),若fxx0,y00, 则fyx0,y00。综上所述,本题正确答案是D【考点】高等数学多元函数微积分学二元函数的极限(11) 设1,2,s均为n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确的是(A)若1,2,s线性相关,则A1,A2,As线性相关()若1,2,s线性相关,则A1,A2,As线性无关(C)若1,2,s线性无关,则A1,A2,As线性
9、相关(D)若1,2,s线性无关,则A1,A2,As线性无关【答案】A。【解析】【方法一】因为1,2,s线性相关,故存在不全为零的数k1,k2,ks使得k11+k22+kss=0从而有A(k11+k22+kss)=A0=0即k1A1+k2A2+ksAs=0, 由于k1,k2,ks不全为而是上式成立,说明A1,A2,As线性相关。【方法二】利用秩来求解,利用分块矩阵有A1,A2,As=A(1,2,s)那么rA1,A2,Asr(1,2,s)因为1,2,s线性相关,有r1,2,ss从而rA1,A2,As0,PAB=1,则必有(A)PABP(A) ()PABP(B)(C)PAB=P(A) (D)PAB=
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