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1、2020 年北京市海淀区高三数学一模试题海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数 学 202春本试卷共页,50分。考试时长20分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)在复平面内,复数对应的点位于()第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)已知集合,则集合可以是()(B)()(D)(3)已知双曲线的离心率为,则的值为(A)(B)(C)(D)(4)已知实数,在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 ()
2、() (C)()(5)在的展开式中,常数项为(A)(B)(C)(D)()如图,半径为的圆与直线相切于点,圆沿着直线滚动当圆滚动到圆时,圆与直线相切于点,点运动到点,线段的长度为,则点到直线的距离为(A)1(B)(C)()(7)已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减,则的取值范围为(A) (B)(C)(D)俯视图 左视图 主视图 1122(8)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为(A)(B)(C)(D)()若数列满足,则“,,”是“为等比数列”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件()充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(1)形如(是非负整数)的数称为费马数
3、,记为.数学家费马根据,,,都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出不是质数,那么的位数是(参考数据:)(A)(B)(C)()第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。(1)已知点在抛物线上,则抛物线的准线方程为 .(2)在等差数列中,,则数列的前项的和为 .(3)已知非零向量,满足,则 .(14)在中,点在边上,,,则 ;的面积为 .CBO(15)如图,在等边三角形中,. 动点从点出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到点,记运动的路程为,点到此三角形中心距离的平方为,给出下列三个结论:函数的最大值为;函数的图象的对称轴方程为;PA关于的方程
4、最多有个实数根其中,所有正确结论的序号是 注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得分,不选或有错选得0分,其他得3分。三、解答题共6小题,共5分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共4分)ECAB如图,在三棱柱中, 平面,,点为的中点.()求证:平面;()求二面角的大小(17)(本小题共14分)已知函数.()求的值;()从,; ,这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数在,上的最小值,并直接写出函数的一个周期.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分。(18)(本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质
5、量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障下图是某公司从200年到2019年这10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).()从01年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10的概率;()从010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过00亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望;()根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.(1)(本小题共15分)已知函数()当时,求曲线在点处的切线方程;求函数的最小值;()求证:当,时,
6、曲线与有且只有一个交点.(0)(本小题共14分)已知椭圆的离心率为,,,,的面积为()求椭圆的方程;()设是椭圆上一点,且不与顶点重合,若直线与直线交于点,直线与直线交于点. 求证:为等腰三角形(2)(本小题共14分)已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数,使得对任意的成立,则称数列具有性质()分别判断下列数列是否具有性质;(直接写出结论) ; ()若数列满足,求证:“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件;()已知数列中,且.若数列具有性质,求数列的通项公式海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案 数 学 202春阅卷须知:1评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分
7、数。.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题共0小题,每小题4分,共4分 题号1234567890答案ABBDCDCAB二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.题号11131415答案0,注:第14题第一空3分,第二空2分;第15题全部选对得5分,不选或有错选得分,其他得分。三、解答题共6小题,共5分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)解:()因为平面,平面所以. 分在中,所以.所以 分因为,平面,所以平面 5分()由()知,,,如图,以为原点建立空间直角坐标系 6分则,,.,设平面的法向量为,则 8分即令则,,所以. 1分又因为平面的法向量为, 11分
8、所以. 13分由题知二面角为锐角,所以其大小为. 1分(7)解:(). 3分()选择条件.的一个周期为. 6分 分 0分因为,所以.所以 .所以 12分当时,即时, 1分在取得最小值 14分选择条件.的一个周期为. 6分 8分. 1分因为,所以. 12分所以 当时,即时, 13分在取得最小值. 14分(8)解:()设事件A为“从200年至019年中随机选取一年,研发投入占当年总营收的百分比超过0”,从210年至219年一共0年,其中研发投入占当年总营收的百分比超过1%有9年, 2分所以. 3分()由图表信息,从200年至21年10年中有5年研发投入超过500亿元,所以的所有可能取值为,. 4分
9、且;;.0分所以的分布列为:021分故的期望. 分()本题为开放问题,答案不唯一. 要求用数据说话,数据可以支持自己的结论即可,阅卷时按照上述标准酌情给分. 14分参考答案:该公司重视研发.理由如下: 理由1:该公司从2012年至19年连续8年研发投入占当年营收%以上,因此在发展的过程中比较重视研发理由2:该公司从0年开始,每年的研发投入基本保持一个增长态势,从215年开始每年研发投入有60亿及以上,因此在发展的过程中比较重视研发.理由:该公司从02年至2019年每年平均研发投入占当年营收的14%,因此在发展的过程中比较重视研发.无法确定该公司是否重视研发理由如下:根据现有数据,从200年至2
10、019年,该公司每年的研发投入大体上呈逐年上升趋势,且研发投入占当年总营收的百分比从010年211年的左右,增长到2012年至2019年的14%左右,据此可推测该公司在发展过程中对研发的重视程度大体上是在提升的. 但是,由于没有与该公司相当规模的同类型公司的数据做参考,无法知道该公司是否在行业内属于相对而言比较重视研发的公司.(1)解:()当时,,则 1分所以 2分又, 分所以曲线在点处的切线方程为 分令,得. 5分0极小值此时,随的变化如下:分可知,函数的最小值为1. 分()由题意可知,. 9分令,则. 10分由()中可知,故 .因为, 则 11分所以函数在区间上单调递增 12分因为, 3分
11、又因为, 4分所以有唯一的一个零点.即函数与有且只有一个交点. 5分(0)解:()由题 2分解得 3分所以椭圆方程为. 4分()解法1证明:设直线方程为,直线方程为由解得点 6分由得,则.所以,.即. 8分于是直线的方程为,直线的方程为.由解得点 0分于是,所以轴. 11分设中点为,则点的纵坐标为故中点在定直线上. 3分从上边可以看出点在的垂直平分线上,所以,所以为等腰三角形 14分解法2证明:设则. 直线方程为,直线方程为.由 解得点 分直线方程为,直线方程为由解得点. 8分. 分于是,所以轴. 11分.故中点在定直线上. 3分从上边可以看出点在的垂直平分线上,所以,所以为等腰三角形. 14分(21)解:()数列具有“性质”; 分数列不具有“性质” 分 ()先证“充分性”:当数列具有“性质”时,有又因为,所以, 进而有 6分 结合有, 即“数列为常数列”; 7分再证“必要性”:若“数列为常数列”, 则有,即“数列 具有“性质”. 8分()首先证明:.因为具有“性质”,所以.当时有. 9分又因为且,所以有,进而有,所以,结合可得:. 11分然后利用反证法证明:. 假设数列中存在相邻的两项之差大于, 即存在满足:或,进而有.又因为,所以依次类推可得:,矛盾,所以有. 3分综上有:,结合可得,经验证,该通项公式满足,所以:. 1分
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