不等式证明的方法探究.pdf
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1、第 30 卷第 6 期大庆师范学院学报Vol 30No 6 2010 年 11 月 JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITYNovember, 2010 不等式证明的方法探究 孙凤芝1 , 李 伟2 ( 1 大庆师范学院 数学科学学院, 黑龙江 大庆 163712; 2 沈阳工业大学 数学系, 辽宁 沈阳 11000) 摘要: 不等式是研究数学问题的重要工具。它渗透在数学的各个部分, 在高等数学中也有极其重要的应用。但 是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统的理论层面的提升。我们从导数、 函数的凸性、 泰勒公 式、 排序不等式、 构造法等高等数学的层面
2、对不等式证明方法进行了有益的探讨。 关键词: 凸函数; 不等式证明; 方法探究 作者简介: 孙凤芝( 1970 ) , 女, 黑龙江安达人, 大庆师范学院数学科学学院教师, 从事微分方程数值解方向研究。 基金项目: 黑龙江省高教学会 “十一五” 规划课题( 115C 289) ; 黑龙江省新世纪高等教育教学改革工程项目: 高师 数学双语教学递进式模式的构建与研究。 中图分类号: O158文献标识码: A 文章编号: 2095 0063( 2010) 06 0040 03收稿日期: 2008 11 25 0引言 不等式证明的基本方法很多, 主要有比较法、 分析法、 综合法、 反证法、 放缩法、
3、数学归纳法、 函数法、 换 元法、 判别式法等十多种方法, 现在国内外有许多教师、 学者对不等式的证明方法进行了系统的归纳和总 结, 并结合丰富的教学经验, 许多方法已经在教学实践中得到广泛应用, 并且已经取得了非常显著的成效。 但是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统的理论层面的提升 下面主要从导数、 函数的 凸性、 泰勒公式、 排序不等式、 构造法等高等数学的层面对不等式证明方法进行了探讨。 1利用概念证明不等式 1 1 利用导数证明不等式 用导数证明不等式, 关键在于构造函数, 然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性, 再利用 单调性得到所证明的不等式。 例 1: 已知
4、 x 0, () 2 , 求证: sinx xtanx 。 证明: 构造函数 f( x)= xsinx, x 0, () 2 g( x) =tanx x, x 0, () 2 则 f( x) =1 cosx0, g( x) =sec2x1 0, 即 xsinx, xtanx ; 故 sinx, xtanx 1 。 注: 这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。这里是构造函数, 利用函数的单调性来证 明, 简单、 快捷。 1 2 利用函数的凸性证明不等式 相关定理: 设 f( x) 为区间 I 上的二阶可导函数, 则在 I 上 f( x) 为凸函数的充要条件是 f( x) 0, x I。
5、例 2: 利用函数的凸性证明: 1 2 ( x + y) n xnyn 2 , x 0, y 0, x y, n 1。 04 证明: 设 f( x)= t, 则 f( t)= ntn1, f( t)= n( n 1) tn2 当 n 1 时, f( t) 0( t 0) , 所以 f( t)是凸函数, 依定义, 有 f( t1+ ( 1 ) t2) f( t1)+ ( 1 ) f( t2) 令 t1= x, t2= y, = 1 2 即得1 2 ( x + y) n xn+ yn 2 2 1 3 利用泰勒公式证明不等式 泰勒定理: 若函数 f( x)满足下列条件 1)在闭区间 a, b上函数
6、f( x)有直到 n 阶的连续导数; 2)在开区间( a, b)内函数 f( x)有 n + 1 阶导数, 则对任何 x, x0, 至少存在一点 ( a, b) , 使 f( x)= f( x0)+ f( x0) ( x x0)+ f( c) 2!( x x0) 2 + + f( n)( x0) n! ( x x0) n + f( n+1)( ) ( n +! ) ( x x0) ( n+1) 例 3: 用泰勒公式证明:a + b + c 3 a2+ b2+ c2 槡 3 。 证明: 设 f( x)= x2, 则 f( x)= 2x, f( x)= 2 0, f( x)= f( x0)+ f(
7、 x0) ( x x0)+ f( c) 2!( x x0) 2 即 f( x) f( x0)+ f( x0) ( x x0) 取 x = a, 得 a2 x2 0 + 2x0( a x0) ; x = b, 得 b2, x2 0 + 2x0( b x0) ; x = c, 得 c2, c2 0 + 2x0( c x0) 。 将不等式两边相加, 得 a2+ b2+ c2 3x2 0 + 2x0( a + b + c) 6x2 0 取 x0= 1 3 ( a + b + c) , 则 x0在 a, b, c 之间, 故 a2+ b2+ c2 3x2 0 = 3( a + b + c 3 ) 2 即
8、a + b + c 3 a2+ b2+ c2 槡 3 2 泰勒公式是用一个次多项式来逼近函数 f( x) , 而此多项式具有形式简单, 易于计算等优点。 所以把泰 勒公式应用到不等式证明中, 使问题简单化。 2应用重要不等式证明不等式 数学家利用不等式的基本理论和一些重要的数学方法, 推导出几个数学中最著名的不等式。 这些不等 式简明优美, 而且有着广泛的应用。 排序不等式: 设 a1 a2 a3 an, b1 b2 b3 bn, 则有 a1bn+ a2bn1+ + anb1( 倒序积和) a1br1+ a2br2+ + anbrn( 乱序积和) a1b1+ a2b2+ + anbn( 顺 序
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