【提升练习】《正方形的性质和判定》(数学北师大九上).docx
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1、正方形的性质提升练习合肥市第三十八中学徐晶一 (共2 小 )1如 ,正方形ABCD的 4,点 E 是正方形外一 点,AED=45, P 为 AB 的中点,当 E 运 , 段PE的最大 ()A4B 3C 2+2D 2+22将 n 个 都 1cm 的正方形按如 所示 放,点 A1,A2,An 分 是正方形的中心,则 n 个正方形重叠形成的重叠部分的面 和 () cm2A BCD二解答题(共3 小题)3边长为 a 的正方形 ABCD中,点 E 是 BD 上一点,过点E 作 EF AE 交射线 CB于点 F,连结 CE( 1)若点 F 在边 BC 上(如图);求证: CE=EF;若 BC=2BF,求
2、DE 的长( 2)若点 F 在 CB 延长线上, BC=2BF,请直接写出 DE的长4(1)如图,已知正方形 ABCD的边长为 4 ,点 M 和 N 分别是边 BC,CD 上两点,且 BM=CN,连 AM 和 BN,交于点 P猜想 AM 与 BN 的位置关系,并证明你的结论(2)如图,已知正方形 ABCD的边长为 4点 M 和 N 分别从点 B、C 同时出发,以相同的速度沿 BC、CD 方向向终点 C 和 D 运动,连接 AM 和 BN,交于点 P求 APB 周长的最大值5已知,正方形ABCD中, MAN=45, MAN 绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M
3、、N, AH MN 于点 H(1)如图,当 MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时,请你直接写出AH 与 AB的数量关系:;( 2)如图,当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时,(1)中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;( 3)如图,已知 MAN=45 , AH MN 于点 H,且 MH=2 , NH=3,求 AH 的长(可利用( 2)得到的结论)参考答案一选择题(共2 小题)1【解答】 解:如图,连接AC, BD 交于点 O,连接 PO, EO, AED=45, ACD=45,A,C, E, D 四点共圆,正方形ABCD的边长为4,OE
4、=OD= BD=2,P 为 AB 的中点, O 是 BD 的中点,OP= AD=2,PE OP+OE=2+2,当点 O 在线段 PE上时,即线段 PE的最大值为2+2故选: DPE=OP+OE=2+2,2【解答】 解:图中的正方形,过ABCD的中心 O 作 OM CD于则易证 OEM OFN,则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN 的面积,如正方形ABCD的边长是1,则 OMCN 的面积是,因而本题的图形中的每个阴影部分的面积都相等,都是,有 n 个正方形,则重合部分由n 1 个,则总面积是M,作ON BC于N,故选: C二解答题(共3 小题)3【解答】 解:( 1)证明:正方形ABCD关
5、于 BD 对称, ABE CBE, BAE= BCE又 ABC= AEF=90, BAE= EFC, BCE=EFC, CE=EF过点 E 作 MN BC,垂直为N,交 AD 于 M CE=EF,N 是 CF的中点 BC=2BF, = 又四边形CDMN 是矩形, DME 为等腰直角三角形,CN=DM=ME,ED=DM=CN=a(2)如图所示:过点E 作 MN BC,垂直为N,交 AD 于 M正方形ABCD关于 BD 对称, ABE CBE, BAE= BCE又 ABF=AEF=90, BAE= EFC, BCE=EFC, CE=EFFN=CN又 BC=2BF, FC= a, CN= a, EN
6、=BN= a, DE= a4【解答】 解:( 1)结论: AM BN理由:如图中,四边形ABCD是正方形, AB=BC, ABM= BCN=90,BM=CN, ABM BCN, BAM= CBN, CBN+ ABN=90, ABN+ BAM=90 , APB=90,AM BN(2)如图中,以AB 为斜边向外作等腰直角三角形AEB, AEB=90,作 EF PA于 E,作 EG PB 于 G,连接 EP EFP= FPG= G=90,四边形EFPG是矩形, FEG=AEB=90, AEF= BEG, EA=EB, EFA=G=90, AEF BEG, EF=EG,AF=BG,四边形 EFPG是正
7、方形, PA+PB=PF+AF+PG BG=2PF=2EF, EF AE, EF 的最大值 =AE=2 , APB 周长的最大值 =4+45【解答】 解:( 1)如图 AH=AB(2)数量关系成立如图,延长CB 至 E,使BE=DNABCD是正方形,AB=AD, D=ABE=90,在 Rt AEB和 Rt AND 中, Rt AEB Rt AND, AE=AN, EAB= NAD, DAN+ BAN=45, EAB+ BAN=45, EAN=45, EAM= NAM=45 ,在 AEM 和 ANM 中, AEM ANM S AEM=S ANM, EM=MN ,AB、 AH 是 AEM 和 AN
8、M 对应边上的高, AB=AH(3)如图分别沿AM、 AN 翻折 AMH 和 ANH,得到 ABM 和 AND, BM=2, DN=3, B= D= BAD=90分别延长 BM 和 DN 交于点 C,得正方形 ABCD,由( 2)可知, AH=AB=BC=CD=AD设 AH=x,则 MC=x 2,NC=x3,在 Rt MCN 中,由勾股定理,得 MN 2=MC2 +NC252=(x 2) 2+( x 3) 2( 6 分)解得 x1=6, x2= 1(不符合题意,舍去) AH=6正方形的判定提升练习合肥市第三十八中学徐晶一选择题(共2 小题)1如图,四边形ABCD中, AB=BC, ABC=CD
9、A=90, BE AD 于点 E,且四边形ABCD的面积为 8,则 BE=()A2B 3CD2如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成()A22.5 角B30角 C 45角 D 60角二解答题(共3 小题)3已知:如图,点M 是矩形 ABCD的边 AD 的中点,点P 是 BC 边上的一动点,PECM,PF BM,垂足分别为E、 F()当四边形PEMF为矩形时,矩形ABCD的长与宽满足什么条件?试说明理由()在()中当点P 运动到什么位置时,矩形PEMF 变为正方形?为什么?4两个长为2cm ,宽为 1cm 的长方形, 摆放在直线l 上(如图)
10、,CE=2cm,将长方形ABCD绕着点 C 顺时针旋转角,将长方形EFGH绕着点 E逆时针旋转相同的角度(1)当旋转到顶点D、 H 重合时,连接AG(如图),求点 D 到 AG 的距离;(2)当=45时(如图) ,求证:四边形MHND为正方形5阅读材料,解决问题小聪在探索三角形中位线性质定理证明的过程中, 得到了如下启示: 一条线段经过另一线段的中点,则延长前者,并且长度相等,就能构造全等三角形如图, D 是 ABC 的 AC 边的中点, E 为 AB 上任一点,延长ED 至 F,使 DF=DE,连接 CF,则可得 CFD AED,从而把 ABC剪拼成面积相等的四边形BCFE你能从小聪的反思中
11、得到启示吗?(1)如图 1,已知 ABC,试着剪一刀,使得到的两块图形能拼成平行四边形把剪切线和拼成的平行四边形画在图1 上,并指出剪切线应符合的条件思考并回答: 要使上述剪拼得到的平行四边形成为矩形, ABC的边或角应符合什么条件?菱形呢?正方形呢?(直接写出用符号表示的条件)( 2)如图 2,已知锐角 ABC,试着剪两刀,使得到的三块图形能拼成矩形,把剪切线和拼成的矩形画在图 2 上,并指出剪切线应符合的条件参考答案一选择题(共2 小题)1【解答】 解:过 B 点作 BFCD,与 DC 的延长线交于 F 点,则有 BCF BAE( ASA),则 BE=BF, S 四边形 ABCD=S 正方
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