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1、.,数理统计,., 对随机现象进行观测、试验, 以取得有代表性的观测值, 对已取得的观测值进行整理、 分析,作出推断、决策,从而 找出所研究的对象的规律性,第六章 数理统计的基本概念,第六章,.,参数估计 (第七章),假设检验 (第八章),回归分析 (第十一章),方差分析 (第九章),推断 统计学,.,总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X .,X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征., 6.1 基本概念,6.1,.,样本 从总体中抽取的部分个体.,称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样
2、本的一个实现.,用 表示, n 为样本容量.,样本空间 样本所有可能取值的集合.,个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 表示.,.,若总体 X 的样本 满足:,一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是,(1) 与X 有相同的分布,(2) 相互独立,则称 为简单随机样本.,简单随机样本,N / n 10.,.,设总体 X 的分布函数为F (x),则样本,若总体X 的密 d.f.为 f( x),则样本,的联合 d.f.为,的联合分布函数为,.,设 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续函
3、数,且不含有未知参数,称,定义,.,例 是未知参数,若 , 已知,则为统计量.,是一样本,是统计量, 其中,则,.,常用的统计量,为样本均值,为样本方差,为样本标准差,.,为样本的k 阶原点矩,为样本的k 阶中心矩,例如,.,(5) 顺序统计量与极差,为样本值,且,定义 r.v.,其中,.,注 样本方差 与样本二阶中心矩 的不同,故,推导,.,2),.,例1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.,解,令,例1,.
4、,则,.,例2 在总体 中,随机抽取一个容量 为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8 之间的概率.,解,故,例2,.,例3 设总体X 的概率密度函数为,为总体的样本,求,(2),(3),解(1),例3,.,近似,(3),由中心极限定理,(2),.,确定统计量的分布 是数理统计的基本 问题之一,正态总体是最常见的总体, 本节介绍 的几个抽样分布均对正态总体而言.,6.2,.,(1) 正态分布,则,特别地,则,.,标准正态分布的 分位数,正态分布的上 分位数.,定义,正态分布的双侧 分位数.,若 , 则称 为标准,若,则称,为标准,.,标准正态分布的 分位数图形,常用 数字,-z/2=z
5、1-/2,.,(2),分布,( n为自由度 ),且都服从标准正态分布N (0,1),则,n = 1 时,其密度函数为,卡分布,.,n = 2 时,其密度函数为,为参数为1/2的指数分布.,.,一般,其中,,在x 0时收敛,称为函数,具有性质,.,.,例如,分布的性质,n = 10,性质,性质,性质,性质,.,相互独立,则,.,(3) t 分布 (Student 分布),定义,则称 T 服从自由度为 n 的T 分布. 其密度函数为,t 分布,.,t 分布的图形(红色的是标准正态分布),.,t 分布的性质,1f n(t)是偶函数,2T 分布的上 分位数 t 与双测 分位数 t/2 均 有表可查.,
6、性质,.,t,-t,.,t/2,-t/2,.,(4) F 分布,则称 F 服从为第一自由度为n ,第二自由度为 m 的F 分布.,其密度函数为,定义,令,F 分布,.,m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15,m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10,.,F 分布的性质,例如,事实上,故,求,性质,.,例1 证明,证,例1,.,证,例2,证明:,设,令,例2,.,抽样分布的某些结论,() 一个正态总体,设总体,样本为( ),,结论,.,( II ) 两个正态总体,相互独立的简单随机样本.,令,.,则,.,
7、则,相互独立的简单随机样本.,.,.,.,的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?,例3设,为使样本均值大于70,解 设样本容量为 n , 则,故,令,得,即,所以取,例3,.,n = 20的样本,(1) 求,(2) 求,解 (1),即,例4,.,故,.,(2),故,.,例5 设r.v. X 与Y 相互独立,X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与Y1, Y2 , Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求 统计量,所服从的分布.,解,例5,.,从而,.,例6 设总体,的样本,为总体 X,解,故,因此,例6,.,简单随机样本,是样本均值,则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为,例7,.,故应选 (B),解,.,补充作业,其样本均值为,求统计量,1. 设 为从正态总体 X N ( , 2) 中抽取的简单随机样本,的数学期望 E (Y ).,习题,(转后页),.,是来自正态 总体 的 容量为 n 的两个样本均值, 且两样本相互 独立, 试确定 n , 使两样本均值之差的绝 对值超过 的概率大约为 0.01.,.,题13,问 题,某水产养殖场两年前在人工湖中混养了黑、白两种鱼. 现在需要对黑白鱼数目的比例进行估计.,提示:分别用矩法与极大似然估计法,解决此问题.,如何估计湖中黑、白鱼的比例,
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