伸缩因子为M的全正加细函数_杨守志.docx
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1、2007 年 11 月汕头大学学报 ( 自然科学版)第 22 卷第 4 期Nov. 2007J our nal of Shantou Univer sity ( Natur al Science )Vol.22No.4文章编号:1001 - 4217( 2007) 04 - 0046 - 07伸缩因子为 M 的全正加细函数杨守志,朱天翔( 汕头大学数学系, 广东 汕头 515063)摘 要 : 讨论伸缩因子为 M, M 2 的全正加细函数的构造问题. 研究它的精度、光滑性和对称性等性质, 给出一类全正、对称、光滑的加细函数的显示构造方法, 证明该类加细函数有很多性质与 B- 样条加细函数类似,
2、 可以通过卷积的方式增加加细函数的光滑性.关键词:加细函数;伸缩因子;全正性;加细函数方程中图分类号:O 174.2文献标识码:A0引言多分辨分析在很多方面都有很重要的应用,如逼近理论、数字信号处理等.近年来, 有大量文章和专著从不同的方面阐述了对多分辨分析和小波的应用. 多分辨分析和小波一般是用两尺度加细函数来构造的. 伸缩因子 M = 2 的两尺度加细方程及两尺度函数的性质已有很多人研究, 并且已经有了很好的结论. 例如, Gori等1给出了全正对称紧支撑加细函数的显示解, 并研究了它的光滑性和紧支撑性. Pitolli2研究了全正紧支撑对称且具有插值性的加细函数. Gori 和 Pito
3、lli 所研究的加细函数的面具都是 Hurwitz 多项式, 且产生的尺度函数为小涟漪. 讨论伸缩因子为 M 的情形, 一方面是由于 M- 通道滤波器理论的需要3- 5, 另一方面是为了得到比伸缩因子 M = 2 更灵活的时频分析工具. Goodman 等6讨论了伸缩因子 M 2 时, 尺度函数为小涟漪其面具需满足的条件. 针对上述情形, 本文主要研究 M 2 时, 全正加细函数的构造问题, 并讨论它们的性质.1基本概念称满足下列条件的子空间序列Vj是一个多分辨分析( MRA) :1) VjVj+1,#jZ;2) ClosL2 &% Vj = L2( R) ;jZ收稿日期:2007 - 06
4、- 04作者简介:杨守志( 1963 ) ,男,河南罗山人,教授,博士生导师.E- mail: 基金项目:广东省自然科学基金资助项目( No: 05008289, 032038) ; 广东省自然科学博士基金资助项目(No: 04300917)第 4 期杨守志等:伸缩因子为 M 的全正加细函数473) ( Vj) = 0;jZ4) f() Vj # f( M) Vj+1;5) 存在函数 (x) ,使得(- k) , kZ构成 V0 的 Riesz 基.可以通过如下加细方程来构造多分辨分析:(x) = $Pk (Mx - k) ,M 2, MZ, xR( 1)kZ其中系数Pk称为面具.定义加细函数
5、的符号为:1- i kP( ) =$Pke .M kZ= P( )对式( 1) 两边做傅立叶变换得: (M)() .根据上式,Pk必需满足$Pk = M.kZ如果x1 x2 xp=det(x - i) 0,&i1 i2 i pl, j=1, 2, ,plj其中 x1 x2 xp,i1 i2 ip,xlR, ilZ ,则称尺度函数 为小涟漪,其支撑区间为0, n/( M- 1) .当 il xl 0, 当 k = 0, 1, 2, n, n M; Pk = 0,当 k n;2) P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i+ 1) /M) Q( ) ;3)
6、Q( 0) = 1 且多项式 Q( ) 的系数非负.那么 (x) = $Pk (Mx - k) 有解,且解为小涟漪.kZ定义 120) 如果尺度函数 (x) 满足: 1) 是紧支撑的; 2) L( R) ; 3) (0; 4) (x - k) kZ 线性无关.那么, 称尺度函数 (x) 满足基本的正则条件.定义 2如果对所有次数不大于 p - 1 的多项式都能被尺度函数 (x) 的平移表示,即存在ck,使得下式成立:xn = $ck (x - k) ,n = 0, 1, 2, , p - 1.k则称尺度函数 (x) 的精度为 p.引理 1设尺度函数 ( x) 满足基本的正则条件,则加细函数 (
7、 x) 的精度 p 等价于 :n 2k) = 0,kZ, k 0, n = 0, 1, , p - 1.(0) 0, D (令集合 S = PkPk 0, k = 0, 1, 2,n; Pk = 0, k n 或 k 1( 4)其中:q( ) = b + b e- i + b e- i2+ + b e- ij, jZ;q( 0) = 1,b, b ,b , , b 0 ( 5)012j012j则对应于 P( ) 的两尺度加细方程 (x) 的解存在,且 CN- 1.证明对式( 1) 两边做傅立叶变换得:() = P( /M) (/M) .重复以上过程得: = P /Mk 0 0 0.()( )
8、( ) ,( ) k = 1式( 4) 定义的 P( ) 可简化为:P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i + 1) /M) Nq( ) = ( ( 1 - e- iM) /M( 1 - e- i ) ) Nq( e- iM) .令 :j11B = B( q ) = supt, b= b(q) =log B =ln B .q( /M)jln MjkjjjM jjRt = 1又因为q( )=b0 + b1e- i + b2 e- i 2+ + bj e- i j b0 + b1 + b2 + + bj = 1,所以上式定义得bj 0( 当 = 0 时,
9、 bj= 0) .则:- iM/ MkP()=&1 - e - i/ Mk)kk = 1Mk = 1M( 1 - eNq().kk = 1M第 4 期杨守志等:伸缩因子为 M 的全正加细函数49由于 - iM/ Mk !1 - e - i/ Mkk = 1 M( 1 - e)1 - e- i=limL- i/ MLL M ( 1 - e)#N =N=lim %1 - e- ii/M 1 - e- i/ M 21 - e- i/ ML- 1 L&NLM( 1 - e)M( 1 - e- i/ M )M( 1 - e- i/ M )1 - e- i N1 - e- i N1 - cos+ isin
10、NLlim1 - e- i/Mi=ii i/MLLsin+ icosN N- N2sini sin2 / 2=2 %22 &/= C(1 +)( C为某一固定常数) ,由 q( 0)= 1,存在0 1,k k有1 - q( /M )= O/M ,k .k因为)( /M ) 2) ,kMkk1 - %Mkk&+!*)ln#+ *)/Mq()= exp1 - q()= exp O j,k = 1j = 1j = 1所以! q( ) 收敛.k = 1Mk任意固定的 , 存在相应的 nZ,使得:Mn- 1 0,有:nn0n02n0!q( /Mk)=!q( /Mk) q( /Mk)q( /Mk)k =
11、1k = 1k=n0+1k = n/n0n0 + 1 CB n/n0 CBn/n0.n0 n0n0由于 n - 1 logM( 1 +) n,即 n 1 + logM( 1 +) ,故:n/n C!n0log (1+)1/n0= C!n01+bb n0B0Bn0M() n0, 0,其中 C,C为某一固定常数.n0C n0!n0记$所以,Cn0 C , (0) ,= maxC!C n0 !n0$ C 1 +() n0( )由文献 7 可知:x =1/+ei$( )()2- ei(x+h) - eix min( 2,- N+bn0L2( R) L1( R) ,R,1+ i$( )/- ( i)d
12、, ( x)=e () d ,2h) 21 -h 2h( 1 +) ,50汕头大学学报( 自然科学版)第 22 卷对任意 0 1,1+i x!( )( )i (x+h) ( x + h) - ( x) #- e- e()d 2+h#- (+ - N+b Cn01 +)n0 d .当 = N - 1时, 取 - b, 则 + - N + b 1 且 NZ,j 为偶数,并设两尺度加细方程( 1) 的符号为:P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i + 1) /M) Nq() .j其中:qj() = b (1 + e- i j) + b ( e- i + e
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