理解三角形_四心_要_一意_巧解习题勿_三心_又_二意_[2].pdf
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1、2017 年第 1 期 (下)中学数学研究31 理解三角形 “四心” 要 “一意” , 巧解习题勿 “三心” 又 “二意” 广州大学附属中学 (510050)韩智明 从初中学习数学开始, 学生就对三角形的 “四心” (即: 重 心、 垂心、 外心、 内心) 有了初步的认识和理解. 进入高中后, 特别是学习向量知识以后, 以向量为载体对三角形 “四心” 有 关问题进行了深入的研究, 大量的且不同形式的习题出现, 冲击着广大师生的大脑. 笔者从事高中数学教学多年, 发现 这块知识学生很难把握, 很多老师在平时的教学中虽然也有 重点强调和讲解, 但感觉还是不够系统, 没有从本质上揭示 它们之间所蕴含
2、的内在联系, 其实通过探究不难发现三角形 的 “四心” 的向量表示有着统一的形式, 本文就从三角形的 “四心” 向量统一表示形式及其相关结论入手, 巧解一类与其 有关的习题. 先看看一个引理的证明: 引理:如果三角形 ABC 内有一点 O 满足 x OA + y OB + z OC = 0,x,y,z R+, 则 SAOB: SAOC: SCOB= z : y : x 即有 SOBC OA + SOAC OB + SOAB OC = 0. 法 1:如 图 1, 作 OA1= x OA, OB1= y OB, OC1= z OC 则 OA1+ OB1+ OC1= 0, 故 O 点是 A1B1C1
3、的重心, 可以 得 到 SA1OB1=SA1OC1= SC1OB1= 1 3SA1C1B1 . 又 图 1 SAOB SA1OB1 = 1 2OAOBsinAOB 1 2OA1OB1sinA1OB1 = OA OB OA1 OB1 = 1 xy , 同理可得 SAOC= 1 xz SA1OC1,SBOC= 1 yz SB1OC1. 所以 SAOB: SAOC: SCOB = ( 1 xy SA1OB1 ) : ( 1 yz SB1OC1 ) : ( 1 xz SA1OC1 ) = 1 xy : 1 xz : 1 yz =x : y : z. 即有 SOBC OA + SOAC OB + SOA
4、B OC = 0. 法 2:如 图 2, O 是 ABC 内 任 意 一 点, 作 OA= OA, 则 一 定 存 在 正 数 1, 2, 使 得 OA=1 OB + 2 OC, 作 平 行 四 边 形 ODAE,则 有 OD=1 OB, OE=2 OC. , SAOB SBOC = SBOE SCOB = | OE| | OC| = 图 2 2. SBOC( OD + OE) = SAOC OB +SAOB OC, 即 SBOC OA= SAOC OB + SAOB OC, 即 SOBC OA + SOAC OB + SOAB OC = 0. 结论 1: 已知 O 是三角形 ABC 的重心,
5、 则有 OA + OB + OC = 0. 略 证:O 是 三 角 形 ABC 的 重 心, SOAB= SOAC= SOBC= 1 3SABC 代入SOBC OA+SOAC OB +SOAB OC = 0 , 即 OA+ OB + OC = 0, 反之亦成 立. 结论 2: 已知 O 是锐角三角 形ABC 的垂心,则有tanA OA+ tanB OB + tanC OC = 0. 略 证:如 图 3, SOBC SOAB = CE AE = OE tanEOC OE tanEOA = tanEOC tanEOA . O,E,A,F 四点 图 3 共圆, EOC = BAC , 同理 EOA
6、= ACB, SOBC SOAB = tanEOC tanEOA = tanBAC tanACB . 同理可得 SOBC SOAC = tanBAC tanCBA, SOAB : SOAC: SOBC= tanC : tanB : tanA, 即有 tanA OA + tanB OB + tanC OC = 0, 反之 亦成立. 结论 3: 已知 O 是三角形 ABC 的外心, 则有 sin2A OA + sin2B OB + sin2C OC = 0 . 略证:如图 4, 设 ABC 的外接圆半径为 R, 则有 SOAB= 1 2R 2sinAOB, SOBC = 1 2R 2sinBOC,
7、 SOAC= 1 2R 2sinAOC, 代入 SOBC OA + SOAC 32中学数学研究2017 年第 1 期 (下) OB + SOAB OC=0 得 1 2R 2sinAOB OC+1 2R 2sinBOC OA + 1 2R 2sinAOC OB = 0 , AOB = 2ACB,BOC = 2BAC,AOC=2ABC , sin2A OA + sin2B OB + 图 4 sin2C OC = 0 , 反之亦成立. 结论 4: 已知 O 是三角形 ABC 的内心, 则有 BC OA+ AC OB + AB OC = 0. 略 证:如 图 4, 设 ABC 的 内 切 圆 半 径
8、为 r, 则 有 SOAB= 1 2r AB,SOBC = 1 2r BC,SOAC = 1 2r AC 代 入 SOBC OA + SOAC OB + SOAB OC=0 得 图 5 BC OA + AC OB + AB OC = 0 , 反之亦成立. 故可以得到如下结论 14 的完整形式: 结论 1.在 ABC 中, 若 OA+ OB+ OC = 0 O 是三角形 ABC 的重心. 结论 2.在 ABC 中, 若 tanA OA + tanB OB + tanC OC = 0 O 是锐角三角形 ABC 的垂心. 结论 3.在 ABC 中, 若 sin2A OA + sin2B OB + s
9、in2C OC = 0 O 是三角形 ABC 的外心. 结论 4.在 ABC 中, 若 BC OA+AC OB +AB OC = 0 O 是三角形 ABC 的内心. 三角形四心的统一表示形式还有其它表示形式吗? 我们 进一步探究不难发现以上结论的另一种表示形式: 由引理: 如果三角形 ABC 内有一点 O 满足 x OA + y OB + z OC = 0, x,y,z R+, 可得到 SOBC OA + SOAC OB + SOAB OC = 0, 即 SOBC OA+SOAC( OA+ AB)+SOAB( OA+ AC) = 0, 即 AO= SOAC SOBC+ SOAC+ SOAB A
10、B+ SOAB SOBC+ SOAC+ SOAB AC . 通过以上的变形表示可以得到结论 14 的另外表示形 式: 结论 1.在 ABC 中, O 是三角形 ABC 的重心 AO = 1 3( AB + AC). 结论 2.在 ABC 中, O 是锐角三角形 ABC 的 垂 心 AO= tanB tanA + tanB + tanC AB + tanC tanA + tanB + tanC AC. 结 论 3.在 ABC 中, O 是 三 角 形 ABC 的 外 心 AO= sin2B sin2A + sin2B + sin2C AB + sin2C sin2A + sin2B + sin2
11、C AC. 结论 4.在 ABC 中, O 是三角形 ABC 的内心 AO = b a + b + c AB + c a + b + c AC. 以上是三角形 “四心” 向量统一表示形式及其相关结论, 下面我们运用这些结论巧解一类习题. 例 1(2010 年全国高考湖北理数第 5 题) 已知 ABC 和点 M 满足, 若存在实数 m 使得 AB + AC = m AM 成立, 则 m =(). A.5B.4C.3D.2 解析: 由题设条件 MA+ MB+ MC = 0, 根据结论1可 知点 M 是 ABC 的重心, 可得 AM = 2 3 1 2( AB + AC) = 1 3( AB + A
12、C) . 故 m = 3, 即 C 正确. 例2 已知O 是ABC 内一点, 且 OA+2 OB+3 OC = 0, 求 BOC,AOC,AOB 的面积之比. 解析 1:如图 5, 延长 AO 交 BC 于点 D, 延长 BO 交 AC 于 E, 令 OD = OA, OA + 2 OB + 3 OC = 0 , OD = (2 OB + 3 OC) = 2 OB + 3 OC, D,B,C 三点共线 2 + 3 = 1 = 1 5 SBOC SABC = | OD| AD| = 1 6. 又令 OE = BO, 2 OB = ( OA + 3 OC) , OE = ( 1 2 OA + 3
13、2 OC ) = 1 2 OA + 3 2 OC . A,C,E 三点共线, 则 1 2 + 3 2 = 1 = 1 2 SAOC SABC = | AE| BE| = 1 3. SAOC SABC = 1 1 3 1 6 = 1 2, SBOC: SAOC: SAOB= 1 : 2 : 3. 解析 2: 由引理可知 x OA + y OB + z OC = 0, x,y,z R+, 可 得 SBOC: SAOC: SAOB= z : y : x, OA+2 OB+3 OC = 0, SBOC: SAOC: SAOB= 1 : 2 : 3 . 例 3已知点 G,N,P 在 ABC 所在平面内,
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