维单位坐标向量组构成的矩阵.ppt
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1、解 n维单位坐标向量组构成的矩阵,E = ( e1, e2, , en ),是 n 阶的单位矩阵。由 |E| = 1 0,知R(E) = n ,即 R(E) 等于向量组中向量的个数,故由定理4知向量组是线性无关的。,例2 已知,试讨论向量组 1,2,3 及向量组 1,2 的线性相关性。,解 对矩阵( 1,2,3 )施行初等行变换,使之变成行阶梯形矩阵,即可同时看出矩阵 (1,2,3) 及矩阵(1,2)的秩,由定理 4 即可得出结论。,(1,2,3),=,=,可见 R( 1,2 ,3) = 2,由定理4知向量组 1,2 ,3 线性相关; R( 1,2)2,向量组 1,2 线性无关。,例3 已知向
2、量组1, 2 , 3线性无关 ,令 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , 3 = 3 + 1,试证向量组1 , 2 , 3线性无关。,证 设有x1 , x2 , x3使,x1 1+ x2 2 +x3 3 = 0,即 x1 ( 1 + 2 ) + x2( 2 + 3 ) + x3 ( 3 + 1 ) = 0,亦即 ( x1 + x3 ) 1 + ( x1 + x2 ) 2 + ( x2 + x3 ) 3 = 0,因 1, 2 , 3 线性无关 ,故有,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解 x1= x2 = x3 = 0,所以向量组 1 ,2 ,3 线性无关。,定理5 (1)若向量
3、组 A: 1 ,2, , m 线性相关,则向量组 B :1, 2 , m , m+1也线性相关。反言之,若向量组 B 线性无关,则向量组 A 也线性无关。,证:记 A = ( 1 ,2, ,m ) , B = ( 1, 2 ,m ,m+1 ) 有 R(B) R(A) + 1 ,若向量组A线性相关,则由定理4有R(A) m ,从而 R(B) R(A) + 1 m + 1,再由定理4知向量组 B 线 性相关。,由上面的证明知:一个向量组若有线性相关的部分组, 则该向量组必线性相关。特别地,含有零向量的向量组一 定线性相关。一个向量组线性无关,则它的任何部分组都 线性无关。,(2) 设,( j =
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- 单位 坐标 向量 组构 矩阵
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