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1、重积分习题 Created by 扈志明 Page 1 of 2重积分习题1设 f (x, y) 连续,交换累次积分 0adxx2 ax-x2f ( x, y)dy 的积分顺序。2设 f (x, y) 连续,交换累次积分 02p dx0sin x f (x, y)dy 的积分顺序。3计算: I =(x 2+ 3y 2- 2x + 4y + 1)ds 。x 2 + y 2 a 24计算: I =x 2 + y 2 - 4ds 。x 2 +y 295设 D = (x, y) R 20 x 1, 0 y 1,计算 | 2xy -1| dxdy 。Dp6计算积分 | cos( x + y) | ds
2、, 其中 D 是由直线 y = x, y = 0, x =所围成。Daa27求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2(a 0) 被平面 z =, z =所夹部分的面积。428(讲义上的题目)设闭区域 D 为| x | + | y | 1 , f (u) 在-1,1 上连续,证明 f ( x + y)dxdy = 1-1 f (u)du 。D9计算: I = ( x + y + z) 2 dV ,W = ( x, y, z) x2 + y2 + z2 a2。W10计算: I = ( x + y)2 dV , W = ( x, y, z)h -hx 2 + y 2 z, h, c 0,
3、z 0 。cW11已知 f (x) C0,1 ,且 01f ( x)dx = A ,求 01 dx1x f ( x) f ( y)dy 。12设 f (x) 为恒大于零的连续函数,证 ab f ( x)dx ab1dx (b - a) 2f ( x)0, xy = 013设 D = ( x, y) y 1, x 0, f (x, y) = y 2 -x 2, ( x, y) D, xy 0 ,试求 ( x 2 +y 2 ) 201dy 01 f (x, y)dx , 01 dx01 f ( x, y)dy 。14设 W 由曲面 x 2 + y 2 = az 和曲面 z = 2a - x 2 +
4、 y 2 (a 0) 所围成,将 f (x, y, z)dv 化成三类坐标系下的三次积分。W15计算 I = (ax + by + cz)dxdydz 。x2 + y2 +z2 2 zx2 + y 2 + z 2 25122W :+ y 116计算 I = ( x + y +)dxdydz ,其中x。8pWz 1z17 求 lim I (u) = lim1udzsin( zx2+ y2)dxdy,其中 D :1 x2+ y2 4 。02pu +u+x2+ y2D1重积分习题 Created by 扈志明 Page 2 of 218设 f 是一个连续函数,试证: 0x dv0v du0u f (
5、t)dt =10x f (t)(t - x) 2 dt 。219(作业题) 设 f (x) 在区间0,1 上连续,求证01 dxx1 d yxyf (x) f ( y) f ( z)dz =1(01 f (t )dt)3 。3!20设 W 是半径为 R 的球体, P0 是球面 W 上的一定点,已知 W 的质量密度为m ( P) = kd(P0 , P) 2 ,试求 W 的重心。21计算二重广义积分 xe- y 2 ds ,其中 D 是由曲线 y = 4x 2 和 y = 9x 2 在第一象限所围D成的区域。+2222计算 - - min x, ye-( x +y ) dxdy 。23设函数 f (x) 连续且恒大于零, f ( x2 + y 2 + z 2 )dv f ( x2 + y 2 )dsF(t) =W(t), G(t) =D (t), f ( x2 + y 2 )dstf (x 2 )dx-tD (t)其中 W(t) = ( x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 t 2, D(t ) = ( x, y) x 2 + y 2 t 2。(1)讨论 F (t) 在区间 (0,+) 内的单调性;(2)证明当 t 0 时, F (t) 2 G(t ) 。p2
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