线性代数1-5行列式习题课.ppt
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1、,线性代数,1.5 习题课,行列式计算方法小结,利用行列式的定义 化三角形法 拆行(列)法 按某一行(列)或某k行(列)展开 数学归纳法 递推法 加边法(升阶法) 利用已知行列式的结论,例1.计算n阶行列式,分析 0 较多,用行列式定义或展开定理.,解(一)由行列式定义,(二)按第一列展开此行列式, 得,?,!,化上三角形,例2.计算(1),方法一,9,化上三角形,9,展开降阶,方法二,3,=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12,范德蒙行列式,(2),(3),=160,观察:每行元素之和都等于10,解:,例3.证明,证明:,法一: 左,右,法二: 左,右,解:,D
2、,每行元素之和相同,2n列加至首列,例4.计算,注:本题首行乘以(-1)加至2至n行可得箭形行列式,例5 计算行列式,分析每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后无法通过2至末行减首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式.,解:,例6 计算,解:,分析首行乘以(1)加至2至n行可得箭形行列式,例7. 解方程,解法(一)末列(-ai)加至第i列(i=1,2,n)得上三角形. (二)末行(-1)加至1至n行, 再由行列式定义或按末列展开. (三)末行起,每行减其上行,再由行列式定义或按末列展开. (四)方程为一元n次方程,最多有n个实根,而当x =a1,a2,an时,方
3、程左边行列式两行相同,值为0,方程成立,故为根.,1.2例解方程,例8 计算 (P23),特点:“0”多,方法: 降阶找递推公式,0,0,0,0,解:法(一) 按第1行展开, 再,递推公式:,adD2(n-1)bcD2(n-1),(adbc)D2(n-1),D2n,(adbc)D2(n-1),(adbc)2D2(n-2),(adbc)n-1D2,(adbc)n,按末行展开,有:,法(二)按中间两行展开拉普拉斯定理,重复此步骤.,法(三)d0,用定义;d0, 化下三角形行列式.,(adbc)D2(n-1),(adbc)2D2(n-2),(adbc)n-1D2,(adbc)n,例9,解:按首行(列
4、)展开,变形为:,后一行列式再按首列(行)展开得,Dn-2,、消去Dn-1得,时,按另一种方式变形为:,时,例10 计算 (P26),(一) 2至n列加至首列,再2至n行减首行得上三角形行列式 (二) 2至n行减首行得箭形行列式 (三) 加边(升阶)法,解:,箭形行列式,例11,主对角线上元素去掉1,则各行分别有公因子x1, x2,xn, 提取公因子后各行元素都是x1, x2, xn,故考虑“加边法”,第2行减去第1行的x1倍,第3行减去第1行的x2倍,第n+1行减去第1行的xn倍.,箭形行列式,(1) mnab,例12 设,则,(一)按前n行展开得,(二)B的第一行逐行向上交换经n次至C的首
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