数列典型方法及例题.doc
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1、求等差等比数列通项公式及前n项和及交叉运用的方法(记背这些方法。重要)一求通项公式1、观察法 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:(1)9,99,999,9999, (2) (3) 解:(1) (2) (3) 2、公式法 例1. 等差数列是递减数列,且=48,=12,则数列的通项公式是( D ) (A) (B) (C) (D) 3、叠加法 例2:已知数列6,9,14,21,30,求此数列的一个通项。点评:一般地,对于型如类的通项公式,只要能进行求和,则宜采用此方法求解。4、叠乘法 例3:在数列中, =1, (n+1)=n,求的表达式。点评:一般地,对于型如=(n)类的通项公式,当的值
2、可以求得时,宜采用此方法。5、Sn法利用(重点) (2)例4:已知下列两数列的前n项和sn的公式,求的通项公式。(1)。 (2)=3为所求数列的通项公式。点评:要先分n=1和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。(做题要特别注意)二数列求和方法 1. 公式法:等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2等比数列求和公式:Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) (q1)2.错位相减法适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3
3、+.+anbn例如:an=a1+(n-1)dbn=a1q(n-1)Cn=anbnTn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbnqTn= a1b2+a2b3+a3b4+.+a(n-1)bn+anb(n+1)Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+.bnan-a(n-1)-anb(n+1)Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+.bn)=a1b1-anb1qn+db21-q(n-1)/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)3.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以
4、得到n个(a1+an)Sn =a1+ a2+ a3+. +anSn =an+ a(n-1)+a(n-3). +a1 前后相加得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/2 4.分组法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例如:an=2n+n-15.裂项法适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)f(n),然后累加时抵消中间的许多项。常用公式:(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/21/(2n-1)-1/(2n+1)(3)1
5、/n(n+1)(n+2)=1/21/n(n+1)-1/(n+1)(n+2) (4)1/(a+b)=1/(a-b)(a-b)(5) nn!=(n+1)!-n! 例 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)则 Sn=n/(n+1) 此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。 7.通项化归先将通项公式进行化简,再进行求和。如:求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,的前n项和。此时先将
6、an求出,再利用分组等方法求和。8.并项求和:例:12+34+56+(2n-1)-2n方法一:(并项)求出奇数项和偶数项的和,再相减。方法二:(12)+(34)+(56)+(2n-1)-2n三.典型数列例题( 数列的判定,等差中项,求任意项,求通向,求前n项和)(注意解答过程方式方法思路)例1(简单的数列的判定)给定公比为q(q1)的等比数列,设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,则数列 ( ) (A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 解:(c)例2(等差数列性质运用)等差数列
7、的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为( ) A130 B170 C210 D260 解:(c)例3(等差中项运用)在等差数列中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解:由a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8及已知条件得: 5a8=120,a8=24 而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。 故选C 例4(前n项和公式和通项联合运用)设等差数列满足3a8=5a13,且a10,Sn为其前n项之和,则Sn(nN*)中最大的是( )。 (A)S10 (B)S11 (C)
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