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1、初三数学三角函数与抛物线易错题训练 一选择题(共 5 小题) 1 (2015 秋滕州市期末)在 RtABC 中,C=90, B=60,那么 sinA+cosB 的值为( ) A1 B C D 2 (2013和平区校级模拟)已知 sincos= ,45 90 ,则 cossin=( ) A B C D 3 (2012杭州)如图,在 RtABO 中,斜边 AB=1若 OCBA,AOC=36,则( ) A点 B 到 AO 的距离为 sin54 B点 B 到 AO 的距离为 tan36 C点 A 到 OC 的距离为 sin36sin54 D点 A 到 OC 的距离为 cos36sin54 4 (200
2、9益阳)如图,先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平 距离为 5 米,那么这两树在坡面上的距离 AB 为( ) A5cos B C5sin D 5 (2006 秋微山县期末)已知 , 是ABC 的两个角,且 sin,tan 是方程 2x23x+1=0 的两根,则ABC 是( ) A锐角三角形 B直角三角形或钝角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 二填空题(共 18 小题) 6 (2016舟山)如图,在直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上,点 A 的坐标为 (1 ,0 ) ,ABO=30 ,线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发,沿 OBA 的边按 OBAO 运
3、动一周,同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动,如果 PQ= ,那么当点 P 运动 一周时,点 Q 运动的总路程为 7 (2015 秋乌鲁木齐校级月考)已知 是二次函数,则 a= 8 (2016银川校级一模)当 m= 时,函数 是二次函数 9下列各式: =(2x+1) (x 2)2x 2;其中 y 是 x 的二次函数的有 (只填序号) 10 (2008 秋 周村区期中)已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(5,0) 、B(6,6)和原点, 则抛物线的函数关系式是 11 (2015 秋 重庆校级期中)把 y=2x26x+4 配方成 y=a( xh) 2+k 的形式是 12 (2
4、006凉山州)如图,矩形 ABCD 的长 AB=4cm,宽 AD=2cmO 是 AB 的中点, OPAB,两半圆的直径分别为 AO 与 OB抛物线的顶点是 O,关于 OP 对称且经过 C、D 两点,则图中阴影部分的面积是 cm 2 13 (2011 秋 西湖区校级月考)已知关于 x 的函数 y=(m 1)x 2+2 x+m 的图象与坐标轴 有且只有 2 个交点,则 m= 14 (2005盐亭县校级模拟)若抛物线 y=x2+5x+a2 与直线 y=x1 相交,那么它们的交点必 在第 象限 15已知抛物线 y=x26x+a 与坐标轴有两个公共点,则 a 的值是 16 (2009 秋 莒南县期末)已
5、知函数 的图象与 x 轴只有一个交点, 则 m 的值为 17 (2013迎江区校级一模)已知二次函数的图象经过原点及点(2, 2) ,且图象与 x 轴 的另一个交点到原点的距离为 4,那么该二次函数的解析式为 18 (2015乌鲁木齐)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=1且过点( ,0) ,有下 列结论:abc0;a2b+4c=0;25a10b+4c=0;3b+2c0;abm(amb) ;其 中所有正确的结论是 (填写正确结论的序号) 19 (2015滨州模拟)如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)图象的一部分,x=1 是对称轴, 有下列判断:b2a=0;4a 2b+
6、c0;a b+c=9a;若(3,y 1) , ( ,y 2)是抛物 线上两点,则 y1y 2,其中正确的序号是 20 (2014 秋 沛县期中)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,对称轴 x=1,下列结 论中正确的是 (写出所有正确结论的序号) b0;abc0;b 24ac0; ab+c0; 4a+2b+c0;方程 ax2+bx+=0 有一 根介于 3 和 4 之间 21 (2010虹口区一模)抛物线 y=x24x+2 与 y 轴的交点坐标是 22 (2010 秋 西城区校级期中)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,抛物 线经过点(1,0) ,则下列结论:
7、 ac0;方程 ax2+bx+c=0 的两根之和大于 0;y 随 x 的增大而增大;ab+c0, 其中正确的是 23 (2015 秋 济宁校级期末)抛物线 y=9x2px+4 与 x 轴只有一个公共点,则 p 的值是 三解答题(共 7 小题) 24 (2015恩施州)如图,某渔船在海面上朝正西方向以 20 海里/时匀速航行,在 A 处观 测到灯塔 C 在北偏西 60方向上,航行 1 小时到达 B 处,此时观察到灯塔 C 在北偏西 30 方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果 精确到 1 海里,参考数据: 1.732) 25 (2015重庆模拟)如图,河流
8、的两岸 MN、PQ 互相平行,河岸 PQ 上有一排间隔为 50m 的电线杆 C、D、E某人在河岸 MN 的 A 处测得DAN=38,然后沿河岸走了 120 米 到达 B 处,测得CBN=70求河流的宽度 CF(结果精确到 0.1,参考数据 sin38 0.62,cos38 0.79,tan38 0.78,Sin70 0.94,cos70 0.34,tan702.75) 26 (2014青羊区校级模拟)如图,为求出河对岸两棵树 AB 间的距离,小明在河岸上 选取一点 C,然后沿垂直于 AC 的直线前进了 12 米到达 D,测得CDB=90取 CD 的中 点 E,测AEC=56,BED=67 (1
9、)求 AC 长; (2)求河对岸两树间的距离 AB (参考数据 sin56 ,tan56 ,sin67 ,tan67 ) 27 (2013铜仁地区模拟)如图, “五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩,游乐场的大型 摩天轮的半径为 20m,旋转 1 周需要 24min(匀速) 小明乘坐最底部的车厢按逆时针方向 旋转(离地面约 1m)开始 1 周的观光 (1)2min 后小明离地面的高度是多少? (2)摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度到达 11m? (3)在旋转一周的过程中,小明将有多长时间连续保持在离地面 31m 以上的空中? 28 (2016肥城市一模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中
10、,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 与 y 轴交于点 C(0,8) ,与 x 轴交于 A,B 两点,其中 A(2,0) ,B (6,0) (1)求二次函数的表达式; (2)若 E 是线段 BC 上一点, P 是抛物线(在第一象限内的)上一点,EC=EP,且点 E 关 于直线 PC 的对称点 F 在 y 轴上,求证:PE 平行于 y 轴,并求出此时点 P 的坐标 29 (2016随州)已知抛物线 y=a(x+3) (x1) (a 0) ,与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,经过点 A 的直线 y= x+b 与抛物线的另一个交点为 D (1)若点 D 的横坐标
11、为 2,求抛物线的函数解析式; (2)若在第三象限内的抛物线上有点 P,使得以 A、B 、P 为顶点的三角形与 ABC 相似, 求点 P 的坐标; (3)在(1)的条件下,设点 E 是线段 AD 上的一点(不含端点) ,连接 BE一动点 Q 从 点 B 出发,沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E,再沿线段 ED 以每秒 个单 位的速度运动到点 D 后停止,问当点 E 的坐标是多少时,点 Q 在整个运动过程中所用时 间最少? 30 (2016昆明)如图 1,对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B(2,0) 、C (0,4)两点, 抛物线与 x 轴的另一交点为 A (1)求抛物线的解析
12、式; (2)若点 P 为第一象限内抛物线上的一点,设四边形 COBP 的面积为 S,求 S 的最大值; (3)如图 2,若 M 是线段 BC 上一动点,在 x 轴是否存在这样的点 Q,使MQC 为等腰 三角形且MQB 为直角三角形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 初三数学三角函数与抛物线易错题训练 参考答案与试题解析 一选择题(共 5 小题) 1 (2015 秋滕州市期末)在 RtABC 中,C=90, B=60,那么 sinA+cosB 的值为( ) A1 B C D 【分析】先求出A 的度数,然后将特殊角的三角函数值代入求解 2 (2013和平区校级模拟)已知 sinco
13、s= ,45 90 ,则 cossin=( ) A B C D 【分析】利用完全平方公式将原式转化为关于同角的三角函数的关系 cos2+sin2=1 来进行 解答 3 (2012杭州)如图,在 RtABO 中,斜边 AB=1若 OCBA,AOC=36,则( ) A点 B 到 AO 的距离为 sin54 B点 B 到 AO 的距离为 tan36 C点 A 到 OC 的距离为 sin36sin54 D点 A 到 OC 的距离为 cos36sin54 【分析】根据图形得出 B 到 AO 的距离是指 BO 的长,过 A 作 ADOC 于 D,则 AD 的长 是点 A 到 OC 的距离,根据锐角三角形函
14、数定义得出 BO=ABsin36,即可判断 A、B;过 A 作 ADOC 于 D,则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离,根据锐角三角形函数定义得出 AD=AOsin36, AO=ABsin54,求出 AD,即可判断 C、 D 4 (2009益阳)如图,先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平 距离为 5 米,那么这两树在坡面上的距离 AB 为( ) A5cos B C5sin D 【分析】利用所给的角的余弦值求解即可 5 (2006 秋微山县期末)已知 , 是ABC 的两个角,且 sin,tan 是方程 2x23x+1=0 的两根,则ABC 是( ) A锐角三角形 B直角三
15、角形或钝角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 【分析】先解出方程的两根,讨论 sin,tan 的值在三角形中,角的范围是(0,180) , sin 必大于 0,此时只要考虑 tan 的值即可,若 tan0,则 为锐角;tan 小于 0,则 为钝角再把 x 的两个值分别代入 sin,tan 中,可求出 , 的值,从而判断 ABC 的 形状 二填空题(共 18 小题) 6 (2016舟山)如图,在直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上,点 A 的坐标为 (1 ,0 ) ,ABO=30 ,线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发,沿 OBA 的边按 OBAO 运 动一周,同时另一端点 Q
16、随之在 x 轴的非负半轴上运动,如果 PQ= ,那么当点 P 运动 一周时,点 Q 运动的总路程为 4 【分析】首先根据题意正确画出从 OBA 运动一周的图形,分四种情况进行计算: 点 P 从 OB 时,路程是线段 PQ 的长;当点 P 从 BC 时,点 Q 从 O 运动到 Q,计算 OQ 的长就是运动的路程;点 P 从 CA 时,点 Q 由 Q 向左运动,路程为 QQ; 点 P 从 AO 时,点 Q 运动的路程就是点 P 运动的路程;最后相加即可 7 (2015 秋乌鲁木齐校级月考)已知 是二次函数,则 a= 1 【分析】由二次函数的定义,列出方程与不等式解答即可 8 (2016银川校级一模
17、)当 m= 1 时,函数 是二次函数 【分析】根据二次函数的定义列式计算即可得解 9下列各式: =(2x+1) (x 2)2x 2;其中 y 是 x 的二次函数的有 , , (只填序号) 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解 10 (2008 秋 周村区期中)已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(5,0) 、B(6,6)和原点, 则抛物线的函数关系式是 y=x 2+5x 【分析】把三点坐标代入函数解析式,即可得到关于 a,b,c 的方程组,即可求得 a,b,c 的值,求出函数解析式 11 (2015 秋 重庆校级期中)把 y=2x26x+4 配方成 y=a( xh) 2+k 的
18、形式是 y=2(x ) 2 【分析】利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式, 把一般式转化为顶点式 12 (2006凉山州)如图,矩形 ABCD 的长 AB=4cm,宽 AD=2cmO 是 AB 的中点, OPAB,两半圆的直径分别为 AO 与 OB抛物线的顶点是 O,关于 OP 对称且经过 C、D 两点,则图中阴影部分的面积是 cm 2 【分析】观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积,其半径为 AB 的 ,根据面积 公式即可解答 13 (2011 秋 西湖区校级月考)已知关于 x 的函数 y=(m 1)x 2+2 x+m 的图象与坐标轴 有且只有 2 个交
19、点,则 m= 1,0, 1,2 【分析】根据函数图象与坐标轴有 2 个交点,分一次函数时,二次函数时,函数图 象过坐标原点和顶点坐标在 x 轴上分别求解即可 14 (2005盐亭县校级模拟)若抛物线 y=x2+5x+a2 与直线 y=x1 相交,那么它们的交点必 在第 三 象限 【分析】利用一次函数,二次函数的图象及其性质,通过形数结合的分析,得出判断 15已知抛物线 y=x26x+a 与坐标轴有两个公共点,则 a 的值是 0 或 9 【分析】分过原点和不过原点两种情况,当过原点时可求得 a=0,当不过原点时,则可知 抛物线与 x 轴只有一个交点,可求得 a 的值 16 (2009 秋 莒南县
20、期末)已知函数 的图象与 x 轴只有一个交点, 则 m 的值为 2 或 11 【分析】分函数为一次函数时,二次项系数等于 0,函数为二次函数时,令 y=0,根 据函数图象与 x 轴只有一个交点,根的判别式=0 列式进行计算即可得解 17 (2013迎江区校级一模)已知二次函数的图象经过原点及点(2, 2) ,且图象与 x 轴 的另一个交点到原点的距离为 4,那么该二次函数的解析式为 y= x2+2x 或 y= x2+ x 【分析】根据与 x 轴的另一交点到原点的距离为 4,分这个交点坐标为(4,0) 、 (4,0) 两种情况,利用待定系数法求函数解析式解答即可 18 (2015乌鲁木齐)如图,
21、抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=1且过点( ,0) ,有下 列结论:abc0;a2b+4c=0;25a10b+4c=0;3b+2c0;abm(amb) ;其 中所有正确的结论是 (填写正确结论的序号) 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与 y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊 点解答问题 19 (2015滨州模拟)如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)图象的一部分,x=1 是对称轴, 有下列判断:b2a=0;4a 2b+c0;a b+c=9a;若(3,y 1) , ( ,y 2)是抛物 线上两点,则 y1y 2,其中正确的序号是 【分析】根据对称轴是直线 x=1,
22、即 =1,判断;根据 x=2 时,y0 判断 ;根据 顶点坐标和 x=2 时,y=0 ,判断;根据对称轴和函数的增减性,判断 20 (2014 秋 沛县期中)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,对称轴 x=1,下列结 论中正确的是 (写出所有正确结论的序号) b0;abc0;b 24ac0; ab+c0; 4a+2b+c0;方程 ax2+bx+=0 有一 根介于 3 和 4 之间 【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点,确定 a、b、c 的符号,根据抛物 线与 x 轴的交点情况,确定 b24ac 的符号,根据对称轴和图象确定 y0 或 y0 时,x 的 范围,确定
23、代数式的符号 21 (2010虹口区一模)抛物线 y=x24x+2 与 y 轴的交点坐标是 (0,2) 【分析】要求抛物线与 y 轴的交点坐标,即要令 x 等于 0,代入抛物线的解析式求出对应 的 y 值,写成坐标形式即可 22 (2010 秋 西城区校级期中)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,抛物 线经过点(1,0) ,则下列结论: ac0;方程 ax2+bx+c=0 的两根之和大于 0;y 随 x 的增大而增大;ab+c0, 其中正确的是 【分析】根据抛物线的图象开口向下,与 y 轴的交点在 x 轴的上方,求出 c、a 的正负,即 可判断;根据对称轴求出 的符号即可
24、判断;图象被对称轴分成两部分,根据每部 分图象的变化情况即可判断;把 x=1 代入抛物线,再根据图象的对称轴即可判断 23 (2015 秋 济宁校级期末)抛物线 y=9x2px+4 与 x 轴只有一个公共点,则 p 的值是 12 【分析】抛物线与 x 轴只有一个交点,则=b 24ac=0,列方程求解 三解答题(共 7 小题) 24 (2015恩施州)如图,某渔船在海面上朝正西方向以 20 海里/时匀速航行,在 A 处观 测到灯塔 C 在北偏西 60方向上,航行 1 小时到达 B 处,此时观察到灯塔 C 在北偏西 30 方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结
25、果 精确到 1 海里,参考数据: 1.732) 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D,则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为 CD 的长度,利用锐角三角函数关系进行求解即可 25 (2015重庆模拟)如图,河流的两岸 MN、PQ 互相平行,河岸 PQ 上有一排间隔为 50m 的电线杆 C、D、E某人在河岸 MN 的 A 处测得DAN=38,然后沿河岸走了 120 米 到达 B 处,测得CBN=70求河流的宽度 CF(结果精确到 0.1,参考数据 sin38 0.62,cos38 0.79,tan38 0.78,Sin70 0.94,cos70 0.34,tan702.75) 【分析】
26、过点 C 作 CGDA 交 AB 于点 F,易证四边形 AGCD 是平行四边形再在直角 CBF 中,利用三角函数求解 26 (2014青羊区校级模拟)如图,为求出河对岸两棵树 AB 间的距离,小明在河岸上 选取一点 C,然后沿垂直于 AC 的直线前进了 12 米到达 D,测得CDB=90取 CD 的中 点 E,测AEC=56,BED=67 (1)求 AC 长; (2)求河对岸两树间的距离 AB (参考数据 sin56 ,tan56 ,sin67 ,tan67 ) 【分析】 (1)根据 E 为 CD 中点,CD=12,得到 CE=DE=6在 RtACE 中,求得 AC=CEtan56; (2)在
27、 RtBDE 中,求得 BD=DEtan67,然后利用勾股定理求得 AB 的长即可 27 (2013铜仁地区模拟)如图, “五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩,游乐场的大型 摩天轮的半径为 20m,旋转 1 周需要 24min(匀速) 小明乘坐最底部的车厢按逆时针方向 旋转(离地面约 1m)开始 1 周的观光 (1)2min 后小明离地面的高度是多少? (2)摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度到达 11m? (3)在旋转一周的过程中,小明将有多长时间连续保持在离地面 31m 以上的空中? 【分析】 (1)2 分钟后可算出所转的角度,根据半径的长以及构造的直角三角形,可求出 答案 (2)根
28、据所给的高度,能求出 OD 的长,根据直角三角形中,若直角边是斜边的一半,那 么这个直角边所对的角是 30,从而求出转过的COD 的情况并求解 (3)从第一次到达 31m 处,到逆时针转到 31m 处,可算出角度,从而可求出时间 28 (2016肥城市一模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 与 y 轴交于点 C(0,8) ,与 x 轴交于 A,B 两点,其中 A(2,0) ,B (6,0) (1)求二次函数的表达式; (2)若 E 是线段 BC 上一点, P 是抛物线(在第一象限内的)上一点,EC=EP,且点 E 关 于直线 PC 的对称点 F 在 y
29、 轴上,求证:PE 平行于 y 轴,并求出此时点 P 的坐标 【分析】 (1)把三个点坐标代入函数解析式中就可以求解; (2)先通过 B、C 点坐标求出线段 BC 的解析式,则可利用点 P 与点 E 的坐标将 PE 的长 表示出来,通过作垂线找到 EC 与 E 点横坐标的关系,利用 EC=EP 得到一元二次方程,从 而解出点的坐标 29 (2016随州)已知抛物线 y=a(x+3) (x1) (a 0) ,与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,经过点 A 的直线 y= x+b 与抛物线的另一个交点为 D (1)若点 D 的横坐标为 2,求抛物线的函数解析式; (2
30、)若在第三象限内的抛物线上有点 P,使得以 A、B 、P 为顶点的三角形与 ABC 相似, 求点 P 的坐标; (3)在(1)的条件下,设点 E 是线段 AD 上的一点(不含端点) ,连接 BE一动点 Q 从 点 B 出发,沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E,再沿线段 ED 以每秒 个单 位的速度运动到点 D 后停止,问当点 E 的坐标是多少时,点 Q 在整个运动过程中所用时 间最少? 【分析】 (1)根据二次函数的交点式确定点 A、B 的坐标,求出直线的解析式,求出点 D 的坐标,求出抛物线的解析式; (2)作 PHx 轴于 H,设点 P 的坐标为(m,n) ,分BPA AB
31、C 和 PBAABC,根 据相似三角形的性质计算即可; (3)作 DMx 轴交抛物线于 M,作 DNx 轴于 N,作 EFDM 于 F,根据正切的定义求出 Q 的运动时间 t=BE+EF 时,t 最小即可 30 (2016昆明)如图 1,对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B(2,0) 、C (0,4)两点, 抛物线与 x 轴的另一交点为 A (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 为第一象限内抛物线上的一点,设四边形 COBP 的面积为 S,求 S 的最大值; (3)如图 2,若 M 是线段 BC 上一动点,在 x 轴是否存在这样的点 Q,使MQC 为等腰 三角形且MQB 为直角三角形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)由对称轴的对称性得出点 A 的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式; (2)作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形,表示出面积 S,化简后是一个关于 S 的二次函数,求最值即可; (3)画出符合条件的 Q 点,只有一种, 利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等 列比例式;在直角OCQ 和直角 CQM 利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求 解并取舍
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