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1、第 1 课时 实数的概念 一:【课前预习】 (一):【知识梳理】 1.实数的有关概念 (1)有理数: 和 统称为有理数。 (2)有理数分类 按定义分: 按符号分: 有理数 ;有理数 ()()0()()()()0()() (3)相反数:只有 不同的两个数互为相反数。若 a、b 互为相反数,则 。 (4)数轴:规定了 、 和 的直线叫做数轴。 (5)倒数:乘积 的两个数互为倒数。若 a(a0)的倒数为 .则 1a 。 (6)绝对值: (7)无理数: 小数叫做无理数。 (8)实数: 和 统称为实数。 (9)实数和 的点一一对应。 2.实数的分类:实数 3.科学记数法、近似数和有效数字 (1)科学记数
2、法:把一个数记成_的形式(其中 1a10,n 是整数) (2)近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 (3)有效数字:从左边第一个_数位止,所有的数字,都叫做这个数字 的有效数字。 (二):【课前练习】 ()()()()()()()()()零 1| 2 2|的值是( ) A2 B.2 C4 D4 2下列说法不正确的是( ) A没有最大的有理数 B没有最小的有理数 C有最大的负数 D有绝对值最小的有理数 3在 这七个数中,无理数有( 00 2sin459.2073、 、 、 、 、 、 ) A1 个;B2 个;C3 个;D4 个 4下列命题中正确的是( ) A有限
3、小数是有理数 B数轴上的点与有理数一一对应 C无限小数是无理数 D数轴上的点与实数一一对应 5近似数 0.030 万精确到 位,有 个有效数字,用科学记数法表示为 万 二:【经典考题剖析】 1下列各数中:-1,0, , ,1.101001, , ,- ,16921245cos60 ,2, .722 有理数集合 ; 正数集合 ; 整数集合 ; 自然数集合 ; 分数集合 ; 无理数集合 ; 绝对值最小的数的集合 ; 3. 已知(x-2) 2+|y-4|+ =0,求 xyz 的值 6z 4已知 a 与 b 互为相反数,c、d 互为倒数,m 的绝对值是 2 求 的值3212()(mbcd 5. a、b
4、 在数轴上的位置如图所示,且 ,化简ababa 0 ba 三:【课后训练】 2、一个数的倒数的相反数是 1 ,则这个数是() 15 A B C- D 65 56 65 56 3、一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是( ) A非负数 B非正数 C负数 D正数 4. 数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点 P 所表示的数 是 ”,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )2 A代人法 B换元法 C数形结合 D分类讨论 5. 若 a 的相反数是最大的负整数,b 是绝对值最小的数,则 ab=_ 6.已知 , ,则 xy4,3xy3xy 7.光年是天文学中的距离单位,1 光年大约是 9
5、500000000000km,用科学计数法表 示 (保留三个有效数字) 8.当 a 为何值时有: ; ;2a20a23a 9. 已知 a 与 b 互为相反数,c、d 互为倒数,x 的绝对值是 2 的相反数的负倒数,y 不能 作除数,求 的值2020120()()cdy 第 2 课时 实数的运算 一:【课前预习】 (一):【知识梳理】 1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则 (1)有理数加法法则: 同号两数相加,取_的符号,并把_ 绝对值不相等的异号两数相加,取_的符号,并用 _。互为相反数的两个数相加得_。 一个数同 0 相加,_。 (2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上_。
6、 (3)有理数乘法法则: 两数相乘,同号_,异号_,并把_。任何数同 0 相乘, 都得_。 几个不等于 0 的数相乘,积的符号由_决定。当_, 积为负,当_,积为正。 几个数相乘,有一个因数为 0,积就为_. (4)有理数除法法则: 除以一个数,等于_._不能作除数。 两数相除,同号_,异号_,并把_。 0 除以任何一个 _的数,都得 0 (5)幂的运算法则:正数的任何次幂都是_; 负数的_是负数, 负数的_是正数 (6)有理数混合运算法则: 先算_,再算_,最后算_。 如果有括号,就_。 2.实数的运算顺序:在同一个算式里,先 、 ,然后 ,最后 有括号时,先算 里面,再算括号外。同级运算从
7、左到右,按顺序进行。 3.运算律 (1)加法交换律:_。 (2)加法结合律:_。 (3)乘法交换律:_。 (4)乘法结合律:_。 (5)乘法分配律:_。 4.实数的大小比较 (1)差值比较法: 0 , =0 , 0 abababb (2)商值比较法: 若 为两正数,则 ; 、 11; a1 (3)绝对值比较法: 若 为两负数,则 ab、 abab; ; b (4)两数平方法:如 1537与 5.三个重要的非负数: (二):【课前练习】 1. 下列说法中,正确的是( ) A|m|与m 互为相反数 B 互为倒数21与 C19988 用科学计数法表示为 1998810 2 D04949 用四舍五入法
8、保留两个有效数字的近似值为 050 2. 在函数 中,自变量 x 的取值范围是( )1yx Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 3. 的平方根是 _6 4.计算 (1) 32(3) 2+| |( 6)+ ;(2) 6492(3-)(3+) 二:【经典考题剖析】 1.已知 x、y 是实数, 234690,3,.xyaxya若 求 实 数 的 值 2.比较大小: (1)52,()157,()1与 与 与 - 3.探索规律:3 1=3,个位数字是 3;3 2=9,个位数字是 9;3 3=27,个位数字是 7;3 4=81,个位数字是 1;3 5=243,个位数字是 3;3 6=729,个位数字是 9;那
9、么 37 的个位数字是 ;3 20的个位数字是 ; 4.计算: (1) ; 3422(2)()(0.513 (2) 1021()tan3)(36 三:【课后训练】 1.当 时, 的大小顺序是( )0x12,x A ;B ;C ;D 2x2x1x21 2.计算: (1)( )2; ( + )( );313227+3-1 (4) ;(5)012+-(3)2234111.+(-)-4()(-)2 3. 已知: ,求123x35242xx的 值 4. 观察下列等式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,这些等式反映出自然数间 的某种规律,设 n 表示自然数,用关于 n 的等式表
10、示出来 5.小王上周五买进某公司股票 1000 股,每股 25 元,在接下来的一周交易日内,小王记下 该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况:(单位:元) 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +2 -0.5 +1.5 -1.8 +0.8 根据表格回答问题 (1)星期二收盘时,该股票每股多少元? (2)本周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少? (3)已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五 以收盘价将传全部股票卖出,他的收益情况如何? 第 3 课时 数的开方和二次根式 一:【课前预习】 (一):【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果 x2=a,那么 x
11、叫做 a 的 。一个正数有 个平方根,它们互为 ; 零的平方根是 ; 没有平方根。 (2)如果 x3=a,那么 x 叫做 a 的 。一个正数有一个 的立方根;一个负数 有一个 的立方根;零的立方根是 ; 2.二次根式 (1) (2) (3) (4)二次根式的性质 ; 20,a若 则 ()ab(0,)ab ; )2()(, (5)二次根式的运算 加减法:先化为 ,在合并同类二次根式; 乘法:应用公式 ;(0,)abab 除法:应用公式 , 二次根式的运算仍满足运算律,也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二):【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果 那么 x 取值范围是()2(x-
12、)= A、x 2 B. x 2 C. x 2 D. x2 4. 下列各式属于最简二次根式的是( ) A 225+1 B.y C.1 D.05 二:【经典考题剖析】 1. 已知ABC 的三边长分别为 a、b、c, 且 a、b、c 满足 a2 6a+9+ ,4|5|0bc 试判断ABC 的形状 2. x 为何值时,下列各式在实数范围内有意义 (1) ; (2) ; (3)321x14x 3. 化简与计算 ; ; ; 67524()x1625 ; 22336 26 三:【课后训练】 1. 当 x2 时,下列等式一定成立的是( ) A、 B、2x23x C、 D、33x 2. 如果 那么 x 取值范围
13、是()2(x-)= A、x 2 B. x 2 C. x 2 D. x2 3. 当 a 为实数时, 则实数 a 在数轴上的对应点在( )a- A原点的右侧 B原点的左侧 C原点或原点的右侧 D原点或原点的左侧 4. 有下列说法:有理数和数轴上的点一对应;不带根号的数一定是有理数;负 数没有立方根; 是 17 的平方根,其中正确的有( )17 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 5. 计算 所得结果是_32a+ 6. 当 a0 时,化简 = 2a 7.计算 (1) 、 ; (2) 、259x2032045 (3) 、 ; (4) 、235862713 第 4 课时 代数式的初步知识 一:【课前
14、预习】 (一):【知识梳理】 1. 代数式的分类: 2. 代数式的有关概念 (1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母 连结而成的式子叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式 (2)有理式: 和 统称有理式。 (3)无理式: 3.代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值。 (二):【课前练习】 代数式 有理式 无理式 1. a,b 两数的平方和用代数式表示为( ) A. B. C. D. 22()ab2ab2ab 2. 当 x=-2 时,代数式- +2x-1 的
15、值等于( )x A.9 B.6 C.1 D.-1 3. 当代数式 a+b 的值为 3 时,代数式 2a+2b+1 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4. 一种商品进价为每件 a 元,按进价增加 25出售, 后因库存积压降价,按售价 的九折出售,每件还盈利( ) A.0.125a 元 B.0.15a 元 C.0.25a 元 D.1.25a 元 5.如图所示,四个图形中,图是长方形,图、 是正方形,把图、 三个图形拼在一起(不重合) ,其面积为 S,则 S_;图的面积 P 为_,则 P_s。 二:【经典考题剖析】 1. 抗“非典”期间,个别商贩将原来每桶价格 a 元的过氧乙酸消毒液提价
16、 20后出售, 市政府及时采取措施,使每桶的价格在涨价一下降 15,那么现在每桶的价格是 _元。 2.一根绳子弯曲成如图所示的形状,当用剪刀像图那样沿虚线把绳子剪断时,绳子 被剪成 5 段;当用剪刀像图那样沿虚线 b(ba)把绳子再剪一次时,绳子就被剪 成 9 段,若用剪刀在虚线 ab 之间把绳子再剪(n-2) 次( 剪刀的方向与 a 平行)这样一共 剪 n 次时绳子的段数是( ) A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+5 3. 有这样一道题, “当 a= 0.35,b=-0.28 时,求代数式 7a26a 3b+3a36a 3b3a 2b10a 3+3 a2b2 的值” 小明同
17、学说题目中给出的条件 a=0.35,b=-0.28 是多余的,你觉得他的说法对吗?试说明理由 三:【课后训练】 1. 两个数的和是 25,其中一个数用字母 x 表示,那么 x 与另一个数之积用代数式表示 为( ) Ax(x25) Bx(x25) C25x Dx(25x) a a b a+b a+b a a bbb2a 2. 若 abx与 ayb2是同类项,下列结论正确的是( ) AX2,y=1;BX=0,y=0;CX2,y=0;DX=1,y=1 3. 小卫搭积木块,开始时用 2 块积木搭拼(第 1 步) , 然后用更多的积木块完全包围原来的积木块(第 2 步) ,如图反映的是前 3 步的图案,
18、当第0 步结 束后,组成图案的积木块数为 ( ) A306 B361 C380 D420 4. 科学发现:植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征,都非常吻合于一 个奇特的数列著名的裴波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 仔细观察以上数列,则它的第 11 个数应该是 . 5. ;22x=-,-x+3=若 则 6. 一串有黑有白,其排列有一定规律的珠子,被盒子遮住一 部分如图所示,则这串珠子被盒子遮住的部分有_颗 7. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案: 第 4 个图案中有白色地面砖 块; 第 n 个图案中有白色地面砖 块 8. 下面是
19、一个有规律排列的数表: 上面数表中第 9 行,第 7 列的数是_ 10. 观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律: 在和后面的横线上分别写出相应的等式; 通过猜想写出与第 n 个点阵相对应的等式. 第 5 课时 整式 一:【课前预习】 (一):【知识梳理】 1.整式有关概念 (1)单项式:只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中_ 叫做这个单项式的系数;单项式中_叫做这个单项式的次数; (2)多项式:几个 的和,叫做多项式。_ 叫做常数项。 第 1 步 第 2 步 第 3 步 1=1 2 ; 1+3=2 2 ; 1+2+5=3 2 ; ; ; 多项式中_的次数,就是这个多项式的次数。多项
20、式中_ 的个数,就是这个多项式的项数。 2.同类项、合并同类项 (1)同类项:_ 叫做同类项; (2)合并同类项:_ 叫做合并同类项; (3)合并同类项法则: 。 (4)去括号法则:括号前是“”号,_ 括号前是“”号,_ (5)添括号法则:添括号后,括号前是“+”号,插到括号里的各项的符号都 ;括号前是“”号,括到括号里的各项的符号都 。 3.整式的运算 (1)整式的加减法:运算实质上就是合并同类项,遇到括号要先去括号。 (2)整式的乘除法: 幂的运算: nmanmanmab0anm ( 是正整数)010p1,0 整式的乘法法则:单项式乘以单项式: 。 单项式乘以多项式: 。()mab 单项式
21、乘以多项式: 。n 乘法公式: 平方差公式: 。 完全平方公式: 。2()()abxabxab、 型 公 式 : 整式的除法:单项式相除:把它们的系数、相同字母分别相除,作为商的因式; 对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式,相同字母相 除要用到同底数幂的运算性质。 多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相 加 (二):【课前练习】 1. 代数式 每项系数分别是 _.2314xy+-_有 项 , 2. 若代数式2x ayb+2与 3x5y2-b是同类项,则代数式 3ab=_ 3. 合并同类项:(1)-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4
22、bc; (2)-7x 2y-5xy2-4x2+3xy2 4. 下列计算中,正确的是( ) A2a+3b=5ab;Baa 3=a3 ;Ca 6a2=a3 ;D (ab) 2=a2b2 5. 下列两个多项式相乘,可用平方差公式( ) (2a3b) (3b2a) ;(2a 3b) (2a+3b) (2a +3b) (2a 3b) ;(2a+3b) (2a3b) A;B ;C ;D 二:【经典考题剖析】 1.计算:7a 2b+3ab24a 2b-(2ab2-3ab)-4ab-(11ab2b-31ab6ab 2 2. 若 求(x 2m)3+(yn)3x 2myn的值3mnx=4,y5 3. 阅读材料并解
23、答问题:我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来 表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,例如:(2ab)(a+b) =2a23ab+ b 2就可以用图 lll 或图 ll2 等图形的面积表示 (1)请写出图 l13 所表示的代数恒等式: (2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示: (a+b) (a+3b)a 24ab 十 3b2 (3)请仿照上述方法另写一下个含有 a、b 的代数恒 等式,并画出与之对应的几何图形 4、化简求值: 其中 ,22)3()3( baba31a2b 三:【课后训练】 1. 下列计算错误的个数是( ) 33+66350382432439x=
24、m=2 a=a; (-1)(-)=1(-) ; ; Al 个 B2 个 C3 个 D4 个 2. 计算: 的结果是( )2(a-1)(a-) Aa 25a+6; Ba 25a4; Ca 2+a4; D. a 2+a+6 3. 若 ,则 a、b 的值是( )3x+=() 9993.a,b; .,-; .=0, -; D.a=, b-4442 4. 下列各题计算正确的是( ) A、x 8x4x3=1 B、a 8a-8=1 C. 3100399=3 D.510555-2=54 5. 若 所得的差是单项式则 m=_n=_,这个单项式是_3nm4ab-5 6. 的系数是_,次数是_ 2c 7. 求值:(
25、1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 )223242920 8计算:(1) (2) (3) ()x3a324a (4) (x3y)(x+3y)(x 3y )2; (5) 23216bb (6) (7)4(128233xyx )1()2(xx 第 6 课时 因式分解 一:【课前预习】 (一):【知识梳理】 1分解因式:把一个多项式化成 的形式,这种变形叫做把这个多项式分解 因式 2分解困式的方法: 提公团式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出 来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式 法 运用公式法:平方差公式: ; 完全平方公式: ;
26、 3分解因式的步骤: (1)分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公团式,然 后再考虑是否能用公式法分解 (2)在用公式时,若是两项,可考虑用平方差公式;若是三项,可考虑用完全平方 公式;若是三项以上,可先进行适当的分组,然后分解因式。 4分解因式时常见的思维误区: 提公因式时,其公因式应找字母指数最低的,而不是以首项为准若有一项 被全部提出,括号内的项“ 1”易漏掉分解不彻底,如保留中括号形式,还能 继续分解等 (二):【课前练习】 1.下列各组多项式中没有公因式的是( ) A3x2 与 6x 24x B.3(ab) 2与 11(ba) 3 Cmxmy 与 nynx Da
27、bac 与 abbc 2. 下列各题中,分解因式错误的是( ) 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是() 2222.94 .94()AxyBxyCD 4. 分解因式:x 2+2xy+y24 =_ 5. 分解因式:(1)x 2-3x+2 (2)3x4-6x3+3x2 (3) ;22()4()ab 二:【经典考题剖析】 1. 分解因式: (1) ;(2) ;(3) ;(4)3xy32187xx21x234 2. 分解因式: (1) ;(2) ;(3)2310xy321xyxy2416xx 3. 已知 、 、 是ABC 的三边,且满足 ,abc22abcabc 求证:ABC 为等边三角形。 三:
28、【课后训练】 1. 若 是一个完全平方式,那么 的值是( )22916xmym A24 B12 C12 D24 2. 把多项式 因式分解的结果是( )ab A B C D1ab1ab1ab 3. 如果二次三项式 可分解为 ,则 的值为( )2x2x A1 B1 C2 D2 4. 已知 可以被在 6070 之间的两个整数整除,则这两个数是( )48 A61、63 B61、65 C61、67 D63、65 5. 计算:19982002 , 。227463 2 22 2.1() ;.1()1868);.()2yxyx 6. 若 ,那么 。210a201019aa 7. 、 满足 ,分解因式 mn4n
29、2xymxn 。 8. 因式分解:(1) (2) )()(24 (3)4xy2-4x2y-y3 第 7 课时 分式 一:【课前预习】 (一):【知识梳理】 1分式有关概念 (1)分式:分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说: 当_时分式有意义。当_时分式没有意义。只有在 同时满足_,且_这两个条件时,分式的值才是零。 (2)最简分式:一个分式的分子与分母_时,叫做最简分式。 (3)约分:把一个分式的分子与分母的_约去,叫做分式的约分。将一 个分式约分的主要步骤是:把分式的分子与分母_,然后约去分子与分 母的_。 (4)通分:把几个异分母的分式分别化成与_相等的_的分 式叫做分式的通分。
30、通分的关键是确定几个分式的_ 。 (5)最简公分母:通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母 叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时,注意以下几点:当分母是多项 式时,一般应先 ;如果各分母的系数都是整数时,通常取它们的系 数的 作为最简公分母的系数; 最简公分母能分别被原来各分式的 分母整除;若分母的系数是负数,一般先把“”号提到分式本身的前边。 2分式性质: (1)基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个 ,分式的 值 即: (0)AMB其 中 (2)符号法则:_ 、_ 与_的符号, 改变其中任何两个,分式的值 不变。即: aabb 3.分式的运算: 注意:为运算
31、简便,运用分式 的基本性质及分式的符号法 则: 若分式的分子与分母的各项 系数是分数或小数时,一般要化 为整数。 若分式的分子与分母的最高次()n cdabcad同 分 母加 减 异 分 母乘分 式 运 算 乘 除 除乘 方 ()为 整 数 项系数是负数时,一般要化为正 数。 (1)分式的加减法法则:(1)同分母的分式相加减, ,把分子相加减; (2)异分母的分式相加减,先 ,化为 的分式,然后再按 进行计算 (2)分式的乘除法法则:分式乘以分式,用_做积的分子,_做 积的分母,公式:_;分式除以分式,把除式的分子、 分母_后,与被除式相乘,公式: ; (3)分式乘方是_,公式_。 4分式的混
32、合运算顺序,先 ,再算 ,最后算 ,有括号先算括号内。 5对于化简求值的题型要注意解题格式,要先化简,再代人字母的值求值 (二):【课前练习】 1. 判断对错: 如果一个分式的值为 0,则该分式没有意义( ) 只要分子的值是 0,分式的值就是 0( ) 当 a0 时,分式 0 有意义( )1a 2. 在 中,整式和分式的个数分别为( ) 2223,0,3,xyxxy A5,3 B7,1 C6,2 D5,2 3. 若将分式 (a、b 均为正数)中的字母 a、b 的值分别扩大为原来的 2 倍,则a 分式的值为( ) A扩大为原来的 2 倍 ;B缩小为原来的 ;C不变;D缩小为原来的1214 4.分
33、式 约分的结果是 。296x 5. 分式 的最简公分母是 。,4()()2yxyx 二:【经典考题剖析】 1. 已知分式 当 x_时,分式有意 义;当 x=_时,分式的值为25,4x 0 2. 若分式 的值为 0,则 x 的值为( ) 21 Ax=1 或 x=2 B、x=0 Cx=2 Dx=1 3.(1) 先化简,再求值: ,其中 . 23()xx2 (2)先将 化简,然后请你自选一个合理的 值,求原式的值。 21()xxx (3)已知 ,求 的值046yzyz 4.计算 (1) ;(2) ;(3) 21aa2x2214xx (4) ;(5)xyxyx323 4211xx 三:【课后训练】 1. 当 x 取何值时,分式(1) ;(2) ;( 3) 有意义。31x1x24x 2. 当 x 取何时,分式(1) ;(2) 的值为零。35 3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。 (1) ;(2)2()nm 2()ab 4. 若 ,则 。7;1ab 2ab 5. 已知 。则分式 的值为 。3xy32xy 6. 先化简代数式 然后请你自取一组 a、b 的值代入求值 2 2()()abab 7. 计算: (1) ; (2) 211()aa 253xx (3) ; (4)214412 xx 1222nmnm
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