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1、常用的数量关系式 1、每份数份数总数 总数每份数份数 总数份数每份数 2、1倍数倍数几倍数几倍数1倍数倍数几倍数倍数1倍数 3、速度时间路程 路程速度时间 路程时间速度 4、单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价5、工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间 工作总量工作时间工作效率 6、加数加数和 和一个加数另一个加数7、被减数减数差 被减数差减数 差减数被减数 8、因数因数积 积一个因数另一个因数 9、被除数除数商 被除数商除数 商除数被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形 (C:周长 S:面积 a:边长) 周长边长4 C=4a 面积=边长边长 S=aa 2、正方体 (V:体积
2、 a:棱长) 表面积=棱长棱长6 S表=aa6 体积=棱长棱长棱长 V=aaa3、长方形( C:周长 S:面积 a:边长) 周长=(长+宽)2 C=2(a+b) 面积=长宽 S=ab 4、长方体 (V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高) (1)表面积(长宽+长高+宽高)2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长宽高 V=abh 5、三角形面积=底高2 s=ah2 三角形高=面积 2底 三角形底=面积 2高 6、平行四边形面积=底高 s=ah 7、梯形面积=(上底+下底)高2 s=(a+b) h2 8、圆形 (S:面积 C:周长 d=直径 r=半径) (1)周长=直径=2半径 C=d
3、=2r (2)面积=半径半径 9、圆柱体 (v:体积 h:高 s:底面积 r:底面半径 c:底面周长) (1)侧面积=底面周长高=ch(2rh或dh) (2)表面积=侧面积+底面积2 (3)体积=底面积高 (4)体积侧面积2半径 10、圆锥体 (v:体积 h:高 s:底面积 r:底面半径) 体积=底面积高3 ,高=体积底面积3 ,底面积=体积高3 11、总数总份数平均数 12、利润与折扣问题 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本1)100% 利息本金利率时间 常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米1米=10分米 1分米=10厘米1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位
4、换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 重量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分1元=100分 时间单位换算 1世纪=100年1年=12月1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 1世纪=100年 * 平年1年=365天 * 闰年一年=366天 一、三、五、七、八、十、
5、十二是大月大月有31 天 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天 平年2月有28天闰年2月有29天典型应用题 (1) 平均数问题:解题关键:在于确定总数量和与之相对应的总份数。 (2)归一问题:解题关键:从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量),然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。 例 一个织布工人,在七月份织布 4774 米 , 照这样计算,织布 6930 米,需要多少天? 分析:必须先求出平均每天织布多少米,就是单一量。 693 0 ( 477 4 31 ) =45 (天) (3)归总问题: 例 修一条水渠,原计划每天修 800 米 , 6 天修完。实际 4 天修完,每
6、天修了多少米? 分析:因为要求出每天修的长度,就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量,再求总量,归总问题是先求出总量,再求单一量。 80 0 6 4=1200 (米) (4) 和差问题: 已知大小两个数的和,以及他们的差,求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题关键:是把大小两个数的和转化成两个大数的和(或两个小数的和),然后再求另一个数。 解题规律:(和差)2 = 大数 大数差=小数 (和差)2=小数 和小数= 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作,这时乙班比甲班人数少 12 人,
7、求原来甲班和乙班各有多少人? 分析:从乙班调 46 人到甲班,对于总数没有变化,现在把乙数转化成 2 个乙班,即 9 4 12 ,由此得到现在的乙班是( 9 4 12 ) 2=41 (人),乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 (人),甲班为 9 4 87=7 (人) (5)和倍问题: 已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题。 解题关键:找准标准数(即1倍数)一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数。求出倍数和之后,再求出标准的数量是多少。根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。 解题规律:和
8、倍数和=标准数 标准数倍数=另一个数 例:汽车运输场有大小货车 115 辆,大货车比小货车的 5 倍多 7 辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆? 分析:大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆,这 7 辆也在总数 115 辆内,为了使总数与( 5+1 )倍对应,总车辆数应( 115-7 )辆 。 列式为( 115-7 )( 5+1 ) =18 (辆), 18 5+7=97 (辆) (6)植树问题: 解题关键:解答植树问题首先要判断地形,分清是否封闭图形,从而确定是沿线段植树还是沿周长植树,然后按基本公式进行计算。 解题规律: 不封闭 棵树=段数+1 棵树=总路程株距+1 株距=总路程(棵树-1)
9、 总路程=株距(棵树-1) 封闭植树 棵树=总路程株距 株距=总路程棵树 总路程=株距棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根,每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装,只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。 分析:本题是沿线段埋电线杆,要把电线杆的根数减掉一。 列式为 50 ( 301-1 )( 201-1 ) =75 (米) (9)年龄问题: 解题关键:年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似,主要特点是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差是不会改变的,因此,年龄问题是一种“差不变”的问题,解题时,要善于利用差不变的特点。 例 父亲 48 岁,儿子 21 岁。问几年前
10、父亲的年龄是儿子的 4 倍? 分析:父子的年龄差为 48-21=27 (岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍,可知父子年龄的倍数差是( 4-1 )倍。这样可以算出几年前父子的年龄,从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为: 21( 48-21 )( 4-1 ) =12 (年) (10)鸡兔问题: 解题关键:解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全是一种动物(如全是“鸡”或全是“兔”,然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数。 解题规律:(总腿数鸡腿数总头数)一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=(总腿数-2总头数)2 如果假设全是兔子,可以有下面的式子: 鸡的只数=(4总头数-总腿
11、数)2 兔的头数=总头数-鸡的只数 例 鸡兔同笼共 50 个头, 170 条腿。问鸡兔各有多少只? 兔子只数 ( 170-2 50 ) 2 =35 (只) 鸡的只数 50-35=15 (只) (二)分数和百分数的应用 1 分数乘法应用题:是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。 特征:已知单位“1”的量和分率,求与分率所对应的实际数量。 解题关键:准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 2 分数除法应用题: 特征:已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“1”的量。 解题关键:准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列
12、方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际 数量。 3出勤率 发芽率=发芽种子数/试验种子数100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数100% 4工程问题: 是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。 解题关键:把工作总量看作单位“1”,工作效率就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式。 数量关系式: 工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总
13、量工作效率 工作总量工作效率和=合作时间5 利息 存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。利息=本金利率时间自然数 用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10叫做自然数。 整数 自然数都是整数,整数不都是自然数。 小数 小数是特殊形式的分数。但是不能说小数就是分数。 混小数(带小数) 小数的整数部分不为零的小数叫混小数,也叫带小数。 纯小数 小数的整数部分为零的小数,叫做纯小数。 循环小数 小数部分一个数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。例如:0.333,1.2470470470都是循环小数。 纯循环小数 循环节
14、从十分位就开始的循环小数,叫做纯循环小数。 混循环小数 与纯循环小数有唯一的区别:不是从十分位开始循环的循环小数,叫混循环小数。 有限小数 小数的小数部分位数是有限个数字的小数(不全为零)叫做有限小数。 无限小数 小数的小数部分有无数个数字(不包含全为零)的小数,叫做无限小数。循环小数都是无限小数,无限小数不一定都是循环小数。例如,圆周率也是无限小数。 分数 表示把一个“单位1”平均分成若干份,表示其中的一份或几份的数,叫做分数。 真分数 分子比分母小的分数叫真分数。 假分数 分子比分母大,或者分子等于分母的分数叫做假分数。 带分数 一个整数(零除外)和一个真分数组合在一起的数,叫做带分数。带
15、分数也是假分数的另一种表示形式,相互之间可以互化。 数与数字的区别 数字(也就是数码):是用来记数的符号,通常用国际通用的阿拉伯数字09这十个数字。其他还有中国小写数字,大写数字,罗马数字等等。 数是由数字和数位组成。 0的意义 0既可以表示“没有”,也可以作为某些数量的界限。如温度等。0是一个完全有确定意义的数。 0是一个数。 0是一个偶数。 0是任何自然数(0除外)的倍数。 0有占位的作用。 0不能作除数。 0是中性数。 十进制 十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法。特点是相邻两个单位之间的进率都是十。10个较低的单位等于1个相邻的较高单位。常说“满十进一”,这种以“十”为基数的进位制
16、,叫做十进制。 加法 把两个数合并成一个数的运算,叫做加法,其中两个数都叫“加数”,结果叫“和”。 减法 已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。减法是加法的逆运算。其中“和”叫“被减数”,已知的加数叫“减数”,求出的另一个加数叫“差”。 乘法 求n个相同加数的和的简便运算,叫做乘法。其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”,结果叫“积”。 除法 已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算,叫做除法。除法是乘法的逆运算。其中“积”叫做“被除数”,已知的一个因数叫做“除数”,求出来的另一个因数叫做“商”。 加、减法的运算定律 加法交换律:两个数相加,交换两个加数的
17、位置,和不变,叫做加法交换律。 加法结合律:三个数相加,先把前二个数相加,再加第三个数,或者,先把后二个数相加,再加上第一个数,其和不变。这样做加法结合律。 在减法中,被减数、减数同时加上或者减去一个数,差不变。 在减法中,被减数增加多少或者减少多少,减数不变,差随着增加或者减少多少。反之,减数增加多少或者减少多少,被减数不变,差随着减少或者增加多少。 在减法中,被减数减去若干个减数,可以把这些减数先加,差不变。 乘、除法运算定律 乘法的交换律:两个数相乘,交换两个因数的位置,积不变。这叫做乘法的交换律。 乘法的结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数,或者,先把后两个数相乘,再和
18、第一个数相乘,积不变。这叫做乘法结合律。 乘法分配律:两个数的和(或差)与一个数相乘,等于把这两个数分别与这个数相乘,再把两个积相加(或相减)。这叫做乘法分配律。 乘法的其他运算定律 一个因数扩大若干倍,必须把另一个因数缩小相同的倍数,其积不变。 除法的运算定律-商不变性质 两个数相除,被除数和除数同时扩大或者缩小相同的一个数(0除外),商的大小不变。 乘法的意义 一道乘法算式一般有下面几个意义: 一、求几个相同加数的和是多少?例如:2713,表示求13个27的和是多少?也可以表示求27的13倍是多少? 二、求一个数的若干倍是多少?例如:270.3的意义:求27的十分之三是多少? 除法的意义
19、一道除法算式,一般有下面几个意义: 1、一个数里有几个除数。简称“包含除法”。例如,243表示24里面包含有几个3。 2、一个数是另一个数的多少倍。例如:243,表示24是3的多少倍? 3、把一个数平均分成若干份,每份是多少?简称“等分除法”。 例如:243,表示把24平均分成3份,每份是多少? 4、已知一个数的几分之几是多少,求这个数。 例如:243,表示:已知一个数的三分之一是24,求这个数。 整除与除尽 整除: 甲数除以乙数(甲、乙为自然数),商是整数,余数为零。就说甲数能被乙数整除。 除尽:甲数除以乙数(乙数不为零),商是有限数。就说甲数能被乙数除尽。 整除可以说是除尽,但除尽就不能说
20、一定叫整除。 例如:150.2,叫除尽,但不叫整除。因为商是小数。 又如:10331,既不叫整除,(因为余数不为零)也不叫除尽。 约数和倍数 当甲数能被乙数整除时,就说甲数是乙数的倍数,乙数是甲数的约数。这两个概念都是相对而存在。一个自然数,不存在是否倍数与约数。例如:“3是约数”,就是一个错误说法。只能是对3、6、9、等数而言,是其中某个数的约数。 奇数与偶数 凡是能被2整除的数叫偶数,反之,不能被2整除的数叫奇数。 质数(素数)与合数 一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数,也叫素数。反之,一个数的约数除了1和它本身以外,还有其他的约数,这个数就叫合数。1是否质数 由于1的约数只有1个,所
21、以1既不是质数,也不是合数。 公约数 几个数公有的约数,叫做公约数。 它的个数是有限的,既有最大的,也有最小的。 互质数 两个数的公约数只有1,而没有其他公约数的,这两个数就叫互质数。 质数与互质数 这两个概念没有什么联系。两个质数,不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数,才能肯定是互质数。另外,两个合数既可能是互质数,也可能不是互质数,但不能说两个合数一定不是互质数。 质因数 把一个合数分解成几个质数相乘的形式,这样的质数叫做质因数。 分解质因数 把一个合数分解成几个质数相同的形式,就叫做分解质因数。 公倍数 几个数公有的倍数,叫做公倍数。它的个数是无限的,只有最小的,没有最大的。 最大公
22、约数 几个数公有的约数中,最大的一个就叫做这几个数的最大公约数。 最小公倍数 几个数公有的无限个倍数中,最小的一个,就叫做这几个数的最小公倍数。 能被2整除的判断方法 一个数能否被2整除,只要看这个数的末尾是否有0、2、4、6、8这五个数的其中一个即可。 能被5整除的判断方法 一个数能否被5整除,只要看这个数的末尾是否有0、5这两个数的其中一个即可。 能被3整除的判断方法 一个数能否被3整除,只要看这个数的各个数位上的数字和能否被3整除。 分数单位 分子为1,分母不为零的真分数,就叫这个分数的分数单位。 分数化有限小数的判断方法 一个分数能否化成有限小数,主要看分母(这里的分数一定是最简分数)
23、是不是只有质因数“2或5”。掺杂任何其他质因数,都不能化成有限小数,反之,就一定能化成有限小数。 分数没有基本单位 不同的分数,有不同的分数单位。没有一个共同的标准量,就没有基本单位。 分数的基本性质 一个分数的分子、分母同时乘上或除以相同的数(零除外),分数的大小不变,这叫分数的基本性质。 分数的通分、约分 通分:把几个单位不同的分数,化成相同单位,且大小不变的分数,叫做通分。 约分:把一个分数化成同它相等的,分子、分母较小的分数,叫做约分。 百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数又叫百分率或百分比。百分数是特殊分数。特征是分母为100,采用符号“”(叫做百分号)来表
24、示。分子可以是整数,也可以是小数。 百分率 两个相同量的比的比值,用百分数和的形式表示时,这个比值叫做这两个量的百分率,也叫百分比。通常的“率”就是百分数。如“出勤率”等。 准确数与近似数(近似值) 与实际情况完全符合的数,叫做准确数。 与实际情况接近而有一定误差的数,叫做近似数(或叫近似值)。 名数与不名数 量数与计量单位名称合起来叫做名数。例如:7米、18千克、9时25分等都叫名数。 没有带单位名称的数,叫做不名数。如2、4、6、8等,都叫不名数。 单名数与复名数 只含有一个计量单位名称的名数叫做单名数。例如7米、18千克等都叫做单名数。 含有两个或者两个以上的同类计量单位名称的名数,叫做
25、复名数。例如:2米3分米5厘米,8小时33分,8吨8千克等都叫复名数。高级单位与低级单位 计量单位较大的叫做高级单位,计量单位较小的叫做低级单位。高、低级单位是相对的,没有单个的高、低级单位的名数。 公历年的平年、闰年 平年:把公历年份除以4(这里不是整百的公历年份)有余数时,就把这一年叫做平年,计365天。其中二月份有28天。 闰年:把公历年份除以4(这里不是整百的公历年份)余数为零时,就把这一年叫做闰年,计366天。其中二月份有29天。如果年份是整百的,则除以400,再看余数。 时刻与时间 时刻表示一天内某一个特指的时候,例如上午8时30分开会,这里的“8时30分”这是时刻。时间表示两个是
26、期或两个时刻的间隔。例如,做作业用去30分钟,这里的“30分钟”就是时间。 比和比值 比:两个数相除,叫做两个数的比。一般地当数a除以b(b0)就叫做a与b的比,记作a:b。也可以用分数形式表示为a/b。 比值:比的前项除以后项所得的商,叫做比值。 比和比值有本质的不同。如:1/2既可看作是比,又可看作是比值。如果化成小数,则只能表示为比值。 比的化简 把一个比化为最好简整数比,叫做比的化简。一般情况下,化简以后的比,前后两项为互质数。 比例 表示两个比相等的式子叫做比例。 正比例 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫
27、做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。 反比例 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。 直线:没有端点,可以向两端无限延长。 射线:只有一个端点。可以向一端无限延长。 线段:有两个端点。射线和线段都是直线的一部分。 两点之间,线段最短。 垂线、垂足 两条直线相交,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,其交点叫垂足。从直线外一点到直线所画的线段中,垂线最短。 角: 锐角(小于90度的角)、直角(等于90度的角)、钝角(大于90度而小于180度的角)、平角(等于180度的角)、周角(等于360度的角) 平行线 在同一平面内的两条不相交的直线,叫做平行线。 面积和地积 面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。 地积就是土地的面积。 体积和容积(容量) 体积:用来表示物体所占空间的大小,叫做体积。 容积:一个容器所能容纳物体的体积,叫做容积或容量。
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