解三角形专题名师制作优质教学资料.doc
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4、3) 2、余弦定理: 变式:(1) 此公式通过边的大小(角两边与对边)可以判断出是钝角还是锐角当时,即为锐角;当(勾股定理)时,即为直角; 当时,即为钝角 观察到分式为齐二次分式,所以已知的值或者均可求出(2) 此公式在已知和时不需要计算出的值,进行整体代入即可3、三角形面积公式:(1) (为三角形的底,为对应的高)(2)(3) (为三角形内切圆半径,此公式也可用于求内切圆半径)(4)海伦公式: (5)向量方法: (其中为边所构成的向量,方向任意) 证明: ,而 坐标表示:,则4、三角形内角和(两角可表示另一角)。 5、确定三角形要素的条件:(1)唯一确定的三角形: 已知三边(SSS):可利用
5、余弦定理求出剩余的三个角 已知两边及夹角(SAS):可利用余弦定理求出第三边,进而用余弦定理(或正弦定理)求出剩余两角 两角及一边(AAS或ASA):利用两角先求出另一个角,然后利用正弦定理确定其它两条边(2)不唯一确定的三角形 已知三个角(AAA):由相似三角形可知,三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得:已知三个角只能求出三边的比例: 已知两边及一边的对角(SSA):比如已知,所确定的三角形有可能唯一,也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时,而时,一个可能对应两个角(1个锐角,1个钝角),所以三角形可能不唯一。(判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点,具体可参考例1)6、
6、解三角形的常用方法:(1)直接法:观察题目中所给的三角形要素,使用正余弦定理求解(2)间接法:可以根据所求变量的个数,利用正余弦定理,面积公式等建立方程,再进行求解7、三角形的中线定理与角平分线定理(1)三角形中线定理:如图,设为的一条中线,则 (知三求一)证明:在中 为中点 可得:(2)角平分线定理:如图,设为中的角平分线,则 证明:过作交于 为的角平分线 为等腰三角形 而由可得:二、典型例题:例1:(1)的内角所对的边分别为,若,则_(2)的内角所对的边分别为,若,则_思路:(1)由已知求可联想到使用正弦定理: 代入可解得:。由可得:,所以答案:(2)由已知求可联想到使用正弦定理: 代入可
7、解得:,则或,由可得:,所以和均满足条件答案:或小炼有话说:对比(1)(2)可发现对于两边及一边的对角,满足条件的三角形可能唯一确定,也有可能两种情况,在判断时可根据“大边对大角”的原则,利用边的大小关系判断出角之间的大小关系,判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。例2:在中,若的面积等于,则边长为_思路:通过条件可想到利用面积与求出另一条边,再利用余弦定理求出 即可解:答案:例3:(2012课标全国)已知分别为三个内角的对边,且有 (1)求 (2)若,且的面积为,求 (1)思路:从等式入手,观察每一项关于齐次,考虑利用正弦定理边化角:,所涉及式子与关联较大,从而考虑
8、换掉,展开化简后即可求出 解:即 或(舍) (2)思路:由(1)可得,再由,可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程,解出即可解: 可解得 小炼有话说:通过第(1)问可以看出,在遇到关于边角的方程时,可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点,以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时,通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式,然后选择要消去的角例4:如图,在中,是边上的点,且,则的值为_思路:求的值考虑把放入到三角形中,可选的三角形有 和,在中,已知条件有两边,但是缺少一个角(或者边),看能否通过其它三角形求出所需要素,在中,三边比例已知,进而可求出,再利用补角关系求出,从而中
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