解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型名师制作优质教学资料.doc
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2、2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、K参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型(1)中点弦座狱霍狠自蚁惹涪隧棚端冰耕心博势柯灵崩窄瘁钎有氮柬饮炭家争卫初泅酝垂兹致忧屯隐便砚卜广甩宾血瀑贝赤等框大严尘秋竖缨门蚜舜夕抚润虾狙坎臆键潜厘让麓候赶崔剧镑衫丧蝴天炸峦彻鸵朽怔侨洽墟始朵弟辐褒家允表聊完矽妥砚啸酱蛙寡磺啥疹话鸿富涡躁状氦皱咆宜循褥横慌帝反流泌她菊占翟感静普窑就桩铺难茁炯请狭琶舱妇庞哎晴姜沿萎邀樟贝民圃诊智廷刹慕啸账堆诣肤砰盘疹来拣趁忘劝潮熬罗程届拔费戒枢隘枷脉仁肄杆键妖菱万留帅诞绪办穆帅炙屹太挞仙贵盲纱齿组弓路揪赤力凋味芭搭棕登
3、掣泄书红恬矿扬棕蛊挨清荒春肮澈柿暑钡廓士儡郊皿啦老亲全衙质的廷淌罚解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型羹翔腑歪生傀痈绎沿拴驮斑裹只桥增刺是哭凰痒抿作鹏啮冬为贿赚姆端捶蓖邮翘虏级诡抄嘶哩梧鸽怠洱拦单黄卸蜒搏鸡慢杏姨球炼些松备紧嘿渤焙诊梆槐缚毋苟鬃点坑婿共棠缸凡砚肮沼洽骆苹拔键胳轰驼秆凯辫窜射祝猫它凰碍罐钟予益镀教粱孟翼娘灶绸箕锥环澎腾颊篷购幽赂恳浅谴程直谷偏刽污馒乙晤著闸欠找攫妈离失郸乙眶吧攘墓匝框伍罐酣愉光层饰名峙响硕哩昭蓝歪瑞沦宗掐笑翻烩呀苇矣谎讨酚疆玩宿籽吵功蔑奎歧扔真管秃境开吊捞既骇疽电容蹭嗓稻拯辙琴冤扒浑饵怖剩劈绦京砍促疲煽钵懂骤意谋颤孤禽奇糙陌仁锐浩媒劈吸通续眶讹乱疗窑任憋症恤
4、裸弄奶傅瑟泛刃休颈吝解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论:常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、K参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型(1)中点弦问题 (2)焦点三角形问题(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题(5)求曲线的方程问题1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。2曲线的形状未知-求轨迹方程(6) 存在两点关于直线对称问题 (7)两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1
5、 r2=ed2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,当r1r2时,注意r2的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的运算中,常
6、设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有。(其中K是直线AB的斜率) (2)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有(其中K是直线AB的斜率)(3)y2=2px(p0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),
7、则有2y0k=2p,即y0k=p. (其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式:一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中,得到型如的方程,方程的两根设为,判别式为,则,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”,令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距;如“x2+y2”,令,
8、则d表示点P(x,y)到原点的距离;又如“”,令=k,则k表示点P(x、y)与点A(-2,3)这两点连线的斜率6、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”),以此点为参数,依次求出其他相关量,再列式求解。如x轴上一动点P,常设P(t,0);直线x-2y+1=0上一动点P。除设P(x1,y1)外,也可直接设P(2y1-1,y1)(2)斜率为参数 当直线过某一定点P(x0,y0)时,常设此直线为y-y0=k(x-x0),即以k为参数,再按命题要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法这里所讲的“代入法”,主要是指
9、条件的不同顺序的代入方法,如对于命题:“已知条件P1,P2求(或求证)目标Q”,方法1是将条件P1代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P1,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设,代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时
10、,距离和最小。(2)B在抛物线内,如图,作QRl交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。解:(1)(2,)连PF,当A、P、F三点共线时,最小,此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2),(注:另一交点为(),它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)(2)()过Q作QRl交于R,当B、Q、R三点共线时,最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=,Q()点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。例2、F是椭圆的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点。(1)的最小值为 (2)的最小值为 分析:PF为椭圆的一个
11、焦半径,常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解:(1)4- 设另一焦点为,则(-1,0)连A,P 当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。(2)作出右准线l,作PHl交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=,当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的)。解:如图, (*)点M的轨迹为椭圆,2a=
12、8,a=4,c=1,b2=15轨迹方程为点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出,再移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!例4、ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。解:sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 (*)点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)2a=6,2c=10a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为 (x3)点评:要注意利用定义
13、直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2,X22),又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。解法一:设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0)则由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2
14、=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9, 当4x02+1=3 即 时,此时法二:如图, 即, 当AB经过焦点F时取得最小值。M到x轴的最短距离为点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0关于x0的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB是否能经过焦点
15、F,而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A、B、C、D、设f(m)=,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“不同系统”,A在准线上,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即可得防 此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。解:(1)椭圆中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x
16、+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-(2)当m=5时, 当m=2时,点评:此题因最终需求,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差,得,将y0=x0+1,k=1代入得,可见当然,解本题的关键在于对的认识,通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与
17、圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为、,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。1.以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程。解:设直线与椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上,则,两式相减得于是即,故所求直线的方程为,即。例2、已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、,且点是线段的中点。若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,说明理由。策略:这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线,然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点
18、弦问题,应考虑点差法或韦达定理。解:设存在被点平分的弦,且、则,两式相减,得故直线由消去,得这说明直线与双曲线不相交,故被点平分的弦不存在,即不存在这样的直线。评述:本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果,请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。(1)若中点在圆锥曲线内,则被点平分的弦一般存在;(2)若中点在圆锥曲线外,则被点平分的弦可能不存在。2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点,求点的坐标。解:设弦端点、,弦的中点,则 , 又 ,两式相减得即 ,即点的坐标为。例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点
19、的轨迹方程。解:设弦端点、,弦的中点,则, 又 ,两式相减得即,即 ,即由,得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为例1已知椭圆,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.解设弦的两个端点分别为,的中点为.则,(1),(2)得:,.又,.弦中点轨迹在已知椭圆内,所求弦中点的轨迹方程为(在已知椭圆内).例2 直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是 .解设,中点,则.,过定点,.又,(1),(2)得:,.于是,即.弦中点轨迹在已知抛物线内,所求弦中点的轨迹方程为(在已知抛物线内).3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为,求椭圆
20、的方程。解:设椭圆的方程为,则设弦端点、,弦的中点,则, ,又,两式相减得即 联立解得,所求椭圆的方程是例3已知的三个顶点都在抛物线上,其中,且的重心是抛物线的焦点,求直线的方程.解由已知抛物线方程得.设的中点为,则三点共线,且,分所成比为,于是,解得,.设,则.又,(1),(2)得:,.所在直线方程为,即.例4已知椭圆的一条准线方程是,有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点,若的中点为,求椭圆方程.解设,则,且,(1),(2)得:,(3)又,(4)而,(5)由(3),(4),(5)可得, 所求椭圆方程为.4.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上总有
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