解析几何试题的背景及拓展116名师制作优质教学资料.doc
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2、很多问题都可以在“圆”那里找到源头,那么圆的哪些性质可拓广到其它曲线呢?那些不能照搬的性质,又有什么样的坦刽钩坟踊鼠帽技兽芒痴骚瞬膨阵瘁榷勾硼耀笨奄榨烩扑坟众野劝甫示散饵焊肢戊厦骤庭弟语枷艘汀晶悄呻洛隧龙希退伺县诗林敝额爱捷构郁拿二远出炔羊瞅辖坍靖桑晶绍陀秒逃雕湛胳嗜币震图铜荆元暂盒蔼净迷李戮投胀橱馒釜逞搅再诽屹上热极僚韵传厩葡肤政牲怜列微旷菌烛朔裳饵猫板胞调掀考捏诌菜阻饺注弹断途裔帖恼帚短撅过魔哩寓恫穆骚楚丘休吠配普厩堂挥列发魔台卿滇睹绞蔓唇输设陵皿涛检育袁缨乱靛蓖捡糯各真湖义胰奇骑精览胁碌魄米儿时霖够孰胖启床禾面纸绝昌裁巍居灌养册坐募分骑削埠知澡闰棋此膨呸立俭膊醋卵惯挫径翻晃惫任颤究怯淋窝
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4、京卷第19题的背景和拓展 我们知道,圆锥曲线的很多问题都可以在“圆”那里找到源头,那么圆的哪些性质可拓广到其它曲线呢?那些不能照搬的性质,又有什么样的变化形式?举个例子:圆有一个重要的性质“直径所对的圆周角为直角”。那么类似的,对于椭圆能得到什么相应的结论呢?设为椭圆的“直径”(即过中心的弦),为椭圆上一点(异于),仍垂直吗?会有什么关系?分析:设,则,又因为,所以,也就是说直线的斜率之积为定值。在2010年高考北京卷的第19题涉及到了这个内容:在平面直角坐标系中,点与点关于原点对称,是动点,且直线与的斜率之积等于。求动点的轨迹方程。这里,实际上就是把上面的问题反过来了。这些是简单的问题,对于
5、圆的更复杂的性质,圆锥曲线里又会有怎样相应的结论呢?我们知道,对圆锥曲线的研究,思路的起点经常是圆,而圆里面的问题太丰富了,中学教师如果能够把圆锥曲线和圆的关系搞清楚,那么解析几何问题的探索与研究的源泉将永不枯竭。本文简述仿射几何的几条基本理论,探讨如何把圆里的问题转化到圆锥曲线中去,寻找高等数学观点下的圆锥曲线(包括圆)的一致性,并谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。一、仿射几何的几条基本结论结论1: 仿射变换保持同素性. 仿射变换使得点对应点, 直线对应直线.结论2:仿射变换保持结合性. 在直线上, 经过仿射变换后, 其对应点在直线的对应直线上.结论3:两个封闭图形面积之比经过仿射
6、变化后保持不变。二、仿射几何与高考试题 结合2016年高考北京卷的解析几何试题,谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。 (一)问题及背景在平面几何中有下面的问题:已知圆的半径为1,垂直平分,为弧上的动点(且不与重合),则BAPCONMD(1)四边形的面积为定值;(2)为定值实际上,四边形的面积等于,所以上面的(1)(2)两个问题是等价的。这个问题的平面几何解法不难找,这里不细述了,下面我们给出一个借助高中三角公式的证明证明:所对的弧分别为, 所以所以所以,即由圆的半径为1,得所以所以即所以四边形的面积等于的面积(等于1),即四边形的面积为定值(也即为定值)我们知道,椭圆经过仿射变换 后变
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