数学必修1—必修5基础知识点总结.doc
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1、必修一(一)集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念,它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,它具有三个性质,即 、 和 .(2)根据集合所含元素个数的多少,集合可分为 、 和空集;根据集合所含元素的性质,集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合,用表示.(3)我们约定用 表示自然数集,用 表示正整数集,用 表示整数集,用 表示有理数集,用 表示实数集.(4)集合的表示方法有 、 和图示法(venn图).2.集合间的基本关系(1)集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系,有属于“”和不属于“”两种情形.(2)集合与集合之间的关系集合与集合之间有
2、包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A中有n个元素,集合A的子集个数为 ,非空子集的个数为 ,真子集的个数为 ,非空真子集的个数为 .3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算.4.集合运算中两组常用的结论(1);(2);.(二)函数的概念(1)函数的定义设A,B是 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有 和它对应,那么就称为从集合A到集合B 的一个函数,记作.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 ;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的 .值域是集合B的 .映射:设A,B是两个集合,如果按照某种确定的对应关系f,使
3、对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的对应就称为从集合A到集合B 的映射,记作.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应:一对一,多对一.(2)函数的三要素: 、 及 称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是 及 ,定义域及对应关系确定了,这个函数就唯一确定了.(3)相等函数:定义域相同,并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种:解析法、图象法、列表法.分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析式,这样的函数称为分段函数.(三)函数单调性1.增函数、减函数设函数的定义域为I:如果对于定义域I
4、内某个区间D上的任意两个自变量的值,当 时,都有 ,那么就说函数在区间D上是增函数;如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当 时,都有 ,那么就说函数在区间D上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间.3.利用定义判断(证明)函数单调性的一般步骤: ; 4.数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的 或 ,即图像的 或 .5函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的,函数值域的一些边界值不一定是函数值,函数的最值是函数值域中的一个值,函数取得最值时,一定有相应的x值.6判断函数单调性的常
5、见方法定义法;图象法;导数法. 7求函数最值或值域的方法单调性法;配方法;换元法;判别式法;图象法;不等式法等.8一些重要函数的单调性的单调区间:增区间 ;减区间 .的单调区间:增区间 ;减区间 .(四)函数奇偶性 (1)奇函数、偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.(2)奇偶性如果函数是奇函数或偶函数,那么就说函数具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质奇函数、偶函数的定义域皆关于 对称(此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件);奇函数的图象关于 对称,偶函数的图象关
6、于 对称;若奇函数在x=0处有定义,那么一定有 .在定义域的公共部分内,两个偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍是 数;两个奇函数的和、差仍是 ;奇数个奇函数的积为 ;偶数个奇函数的积为 ;一个奇函数与一个偶函数的积为 ;一个奇函数与一个偶函数(均不恒为零)的和与差 .奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(五)基本函数:一次二次函数1.叫做一次函数,它的定义域和值域皆为R2.函数性质当k0时,为 函数,当k0时,为 函数;当b=0时,函数为正比例函数;3.函数的解析式的三种形式:一般式 ;顶点式 ;零点式 ;4.二次函数的图象与性质的图
7、象是一条抛物线,顶点坐标为 ,对称轴方程为 ,当时开口向上, 当时开口向下;时,抛物线与x轴有 交点.单调性:当时,在 减函数; 在 上是增函数.,相反.奇偶性: 函数;为 函数;(六)指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂: ;零指数幂:1( ) ;负整数指数幂:= (); 正分数指数幂: ();负分数指数幂: (); 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 2.幂的运算法则() ; ; 3.指数函数图像及性质定义图象定义域 值域 定 点单调性4.指数函数具有性质:(七)对数函数1.定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作,其中称对数的底,N称真数.以10为底的对数称常用
8、对数,记作,以无理数为底的对数称自然对数,记作2.基本性质:真数N为正数(负数和零无对数), , 对数恒等式:.3.运算性质:如果则;.4.换底公式:, .5. 对数函数具有性质: 6.函数的图像与性质定 义图 象定义域值 域定 点单调性定义域(八)幂函数:的图像1.当时,幂函数有下列性质:(1)在第一象限内,时图像为 型抛物线,图像下凸,时图像为 型抛物线,图像上凸. (2)图像都通过点 ;(3)在第一象限内,随的 ;2.当a0时,幂函数有下列性质:(1)在第一象限内,函数图像为 型,函数值随的增大而 ,图像是向下凸;(2)图像都通过点 ;(3)在第一象限内,图像向上与轴无限地接近,向右与轴
9、无限地接近;(九)函数图像变换1平移变换水平平移: 的图象,可由 的图象向左 或向右 平移 个单位而得到;竖直平移: 的图象可由 的图象向上 或向下 平移 个单位而得到;注:对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减.2对称变换与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;与的图象关于 对称;的图象可将的图象在 轴下方的部分以 轴为对称轴翻折上去,其余部分不变; 的图象可将的部分作出,再利用偶函数的图象关于轴对称,作出 的部分.3.伸缩变换 的图象,可将 图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变而得到; 的图象,可将 图象上所有点的横坐标变为原来的
10、,纵坐标不变而得到.(十)函数的应用1函数零点的定义:对于函数成立的 叫做函数的零点 .2.二分法定义:对于区间上连续,且 的函数,通过不断把函数的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法.注:该法一般求的是近似解.3解函数应用题,一般可按以下四步进行(1)阅读理解,认真审题 (2)引进数学符号,建立数学模型(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答,求得结果(4)转译成具体问题做出回答必修二(一)多面体和旋转体1多面体和旋转体的概念(1)棱柱:有两个面 ,其余各面都是 ,并且每相邻两个四边形的公共边都 ,由这些面围成的多面体叫做棱柱(2)棱锥
11、:有一个面是 ,其余各面都是 ,由这些面所围成的多面体叫做棱锥(3)棱台:用一个 去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台(4)圆柱:以 为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱(5)圆锥:以 为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(6)圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.圆台还可以看成是以 为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.(7)球:以 为旋转轴,旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球2多面体和旋转体的面积和体积公式(1)圆柱的侧面积: ;(2)圆锥的侧面积: ;(3)圆台的侧面积: ;(4)球的表面积: ;(5
12、)柱体的体积: ;(6)锥体的体积: ;(7)台体的体积: ;(8)球的体积: .(二)画法1我们把 形成的投影,叫做中心投影,中心投影的投影线 2我们把 形成的投影,叫做平行投影,平行投影的投影线是 在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做 ,否则叫做 3光线从几何体的 ,得到投影图叫做几何体的主视图;光线从几何体的 ,得到投影图叫做几何体的左视图;光线从几何体的 ,得到投影图叫做几何体的俯视图;几何体的主视图、左视图和俯视图统称为几何体的三视图一般地,一个几何体的左视图和主视图 一样,俯视图与正视图 一样,侧视图与俯视图 一样一般地,左视图在主视图的右边,俯视图在主视图的下边4斜二测画法的
13、步骤:(1)在已知图形中取 的x轴和y轴,两轴交于点O画直观图时,把它们画成对应的轴与轴,两轴交于点,且使 (或 ),它们确定的平面表示水平平面(2)已知图形中 于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成 于轴或轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中 ,平行于y轴的线段,长度为 (三)点线面位置关系1四个公理公理1如果一条直线上的 ,那么这条直线在此平面内;公理2过 ,有且只有一个平面;公理3如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们 过该点的公共直线;公理4 的两条直线互相平行;2异面直线(1)我们把 的两条直线叫做异面直线(2)空间两条直线的位置关系:(3)已知两条异面直线a、b,
14、经过空间任一点O作直线a,b,我们把与所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(4)定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角 3空间中直线与平面之间的位置关系:(1) 有无数个公共点;(2) 有且只有一个公共点;(3) 没有公共点;直线与平面 的情况统称为直线在平面外4平面与平面之间的位置关系:(1) 没有公共点;(2) 有一条公共直线(四)平行问题1定义: ,则称此直线l与平面平面,记作 ;直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与 平行,则该直线与此平面平行;用符号表示: 2直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过 与该直线平行;用符号表示: 3
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