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1、高一数学复习第三部分(必修四)1 任意角例1.(任意角的概念)下列结论正确的是_第一象限的角都是锐角;锐角都是第一象限的角;第一象限角一定不是锐角;第二象限角是钝角;小于180的角是钝角、直角或锐角;-30小于钝角。例2.写出下列角的集合:锐角:_;小于90的角:_;第一象限角:_;终边在坐标轴上的角:_;2 弧度制例1.若与终边关于轴对称,则若与终边关于轴对称,则若与终边关于原点对称,则若与终边关于直线轴对称,则例4.证明:;例5.计算:已知,求的值.3 分解因式知识点:公式法,十字相乘法,韦达定理,求根公式法,多项式除法(余式定理),分组、提公因式法。例1.公式法例2.十字相乘法 例3.提
2、公因式法与分组分解法(上面第题也可以用此法)例4.多项式除法(余式定理)法1.直接除;法2.看系数;例5.求根公式法例6.综合法(换元法,待定系数法)三边满足则该三角形为_.4 一元二次方程例1.已知方程的一个根为1,求另一根及的值.若方程的两根为且,则=_.例2.已知两数和为2,两数积为,求这两个数.例3.若的两根为,求.例4.已知有两个实数根且求实数的值.例5.若关于的方程有两正根,求的范围.例6.若关于的方程有负根,求的范围.例7.若关于的方程有两实根,是否存在实数,使成立?求使的值为整数的实数的整数值;若试求的值.例8.若关于的方程,求证:无论取什么实数时,这个方程总有两个相异实根;若
3、这个方程的两个实数根满足,求的值及相应的.例9.若关于的方程的根,一个根大于1,另一个根小于1,求实数的范围;两根都是负数呢?有负根?5 二次函数例1.已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线上且图像经过点,求该函数的解析式.例2.已知二次函数的图像过点且顶点到轴的距离等于2,求此二次函数的表达式。例3.已知二次函数满足且的最大值是8,试求该函数.例4.设二次函数在时取得最大值为3,它的图像在轴上截得的线段长为4,求6 求二次函数的最值例1.求函数的最值;求函数的最值;求函数的的最值.例2.已知函数其中,求该函数的最大值与最小值 例3.已知为方程的两个根,当取何值时,有最小值,最小值是多少
4、?例4.已知函数(为常数)在上的最小值为,试将用表示出来.7 恒成立问题例5.不等式恒成立,求的取值范围.8 一元二次不等式的解法例1.不等式的解为,求例2.已知不等式的解为或,求不等式的解.例3.若关于的不等式恒成立,求的取值范围.例4.解关于的不等式;.第二部分(必修一)9 集合例1.判断:与2非常接近的全体实数组成一个集合;坐标轴上的所有点组成一个集合;与表示同一集合;由实数组成的集合中至多有2个元素.例2.求数集中元素所应满足的条件.例3.已知集合且,求实数.例4.已知,且,求集合和.已知求的值;设,集合则设集合,若,求的值及集合.10 集合的含义与表示例1.已知集合,中只有一个元素,
5、求的取值范围;中恰有两个元素,求的取值范围;中至少有一个元素,求的取值范围.例2.集合间的关系:已知,则例3.确定集合的个数:满足的集合有_个.已知,若,则的非空集合有_个.例4.利用集合间的关系求字母的范围(勿忘,检验互异性)已知,若,则已知,若,则实数的取值范围.例5.已知且,求的取值范围.例6.已知,若,求的取值范围.例7.已知且,求的取值范围.11 集合的基本运算例1.则设,则若,则设,则,则,则例2.已知且,则实数的取值范围是_.例3.满足的集合的个数有_个.例4.设,已知,求.例5.已知且,求实数的取值范围.例6.已知全集,集合,则的补集已知全集,求例7.已知全集且,求.例8.已知
6、,若,求实数的取值范围.12 函数的概念例1.判断下列函数与是否表示同一函数.;13 函数的定义域例1.求下列函数的定义域(一般函数定义域的求法);.例2.(复合函数的定义域)已知函数的定义域为,求下列函数的定义域;.例3.已知的定义域为,求的定义域.14 函数的表示法例1.(待定系数法)已知是一次函数且,求.已知是二次函数且,求.例2.(换元法、配凑法)(注意新元的范围)若,求.若,求.若,求.,求.例3.(方程组法-消去法)已知,求.,求.已知,求.例4.(赋值法-针对抽象函数)对有成立且,求.对有且,求.练习:已知,则的解析式为_;,则15 函数的值域例1.(直接法)求下列函数的值域;.
7、例2.(配方法或图像法)已知,;.例3.例4.(反解法);.例5.(换元法-注意新元的范围);.例6.(分离常数法);.例7.(判别式法);.16 分段函数例1.求函数值设,则设,则 例2.求解析式(由分段或图像求解析式)已知函数,求的解析式_.已知,求和的解析式.例3.解方程或不等式,若,则,则不等式的解集为_.,若时,则;若,则例4.分段函数的定义域、值域(分别为各段函数的定义域、值域的并集)求的定义域、值域用表示三个数中的最小值,设,则的最大值为_.设函数,则的值域为_.例5.(分段函数的应用)设函数的函数值表示不超过的最大整数,当时,写出函数的解析式.17 函数的图像(图形的平移,对称
8、变换)例1.画出下列函数图像(草图);.例2.为何值时,方程有四个互不相等的实数根.18 映射(注意映射与函数的区别与联系,了解象,原象的概念)例1.设集合,则到的映射有_个;已知集合,从到的映射满足:,那么到的映射有_个.19 函数的定义域和值域(求法再练)例1.已知函数的定义域为,求的范围.例2.已知,的定义域,求;在上恒有意义,求.例3.已知的定义域为,求的取值范围.例4.若函数的值域为,求实数的值.例5.已知函数的定义域为,值域为,求的值.例6.设,函数,当时,的值域也是,求.练习:已知函数的值域为,求的值域.已知的值域为,则的值域为_.20 函数的单调性例1.(用定义法证明函数的单调
9、性)在上是减函数;在上是增函数;在上是增函数.例2.求下列函数的单调区间(方法:定义;图像;(性质)结论;复合函数的结论);.例3.利用单调性解题(比较大小;解不等式(注意定义域);求参数的范围)已知在上单减,试比较与的大小;已知,当时,为增函数,设,试比较的大小;已知是定义在上的增函数,解不等式.已知,则满足的的范围是_.已知函数在区间上是减函数,求实数的范围;若在区间上是单调函数,求实数的范围.已知函数在上是增函数,求的范围.若是上的减函数,求实数的范围.若函数在上为增函数,则求实数的取值范围.例4.设函数在上是减函数,求实数的范围.例5.是否存在实数使函数在区间上是增函数.二十.抽象函数
10、的单调性例1.设函数的定义域为且对任意有且当时,求证:是上的增函数;若,解不等式.例2.对任意有,当时,判断的单调性;若,求在上的最值.例3.定义在上的函数对有且时,判断在定义域上的单调性,并证明.二十一.函数的最值例1.(利用图像求最值)设,则的最大值为_.求的最大值为_.例2.(利用函数的单调性求最值)在的最小值为_.在的最大值为_,最小值为_.求的最大值、最小值.例3.(二次函数的最值)已知在区间上的最值.已知函数的最大值为2,求实数的值.例4.(双勾函数的最值)已知函数当时,求的最大值和最小值;当时,求的最大值和最小值;当为正常数时,求的最小值.例5.(恒成立问题:注意数形结合,抓住最
11、值)已知函数()求的最小值;()若恒成立,求实数的取值范围.设,()恒成立,求实数的范围;()时,恒成立,求实数的范围;()时,恒成立,求实数的范围;已知函数,()当时,恒成立,求实数的范围;()当时,恒成立,求实数的范围;设函数,()当时,恒成立,求的范围;()当时,恒成立,求实数的范围.练习:已知,若,求实数的取值范围.已知,()若恒成立,求的取值范围;()若时,恒成立,求的取值范围。二十二.函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性(方法:先求定义域,若关于原点对称,再计算,看与的关系,确定函数奇偶性);例2.判断函数的奇偶性.例3.已知函数,试判断的奇偶性.例4.(已知函数奇偶性,求解析式
12、)若为上的奇函数且时,求;若为上的偶函数且时,求;已知是一个偶函数,是一个奇函数且,求;例5.(已知函数奇偶性,求参数值)已知是定义在上的奇函数,求;设是奇函数且,求.例6.(利用函数的奇偶性,求值)已知且则;已知在上有最大值5,则在上有最小值为_;已知函数是偶函数且定义域为,则例7.(抽象函数的奇偶性)设函数的定义域为且对都有,则为_函数;设对任意非零实数满足,则为_函数;已知是定义在上的不恒为0的函数,且对都满足,则为_函数.已知满足且为奇函数,求;是上的偶函数,则的图像的对称轴为_;对于定义在上的函数,若为奇函数,则;定义域为的函数在上是增函数且是偶函数,当且时,比较与的大小;是定义在上
13、的偶函数,其图像关于堆成,且当时,则当时,.例8.(利用奇偶性、单调性解抽象不等式)是定义在上的奇函数且是减函数,满足,求的取值范围;已知是定义在上的偶函数且在上是减函数,若,求的取值范围;设偶函数满足则的解集为_;二十三.指数与指数幂的运算例1.已知,则;已知,则;化简。.例2.用分数指数幂表示下列各式;例3.计算:;例4.化简:;若则例5.(双重根式的化简求值)例6.(带附加条件求值)已知,求下列各式的值:;.二十四.指数函数例1.(概念与图像)函数是指数函数,则恒过定点_;的图像经过第一、三、四象限,则一定有( ) 例2.(定义域与值域、最值)函数的定义域为_,值域为_;的定义域为_,值
14、域为_;的定义域为_,值域为_;的定义域为_,值域为_;的定义域为_,值域为_;例3.已知,求函数的最值。例4.已知若时,恒成立,则的取值范围为_.例5.已知的定义域为,则的定义域为_,的定义域为_.例6.(单调性)已知函数,讨论的单调性.例7.求下列函数的单调区间:;例8.(奇偶性)判断下列函数的奇偶性:;.例9.设为奇函数,求.例10.设是上的偶函数,求;求证:在上是增函数.例11.(解指数不等式)求定义域:;.例12.解不等式; ; .例13.设,若,求的范围.例14.(比较大小)(单调性;介值传递(等);作差(商).;与.例15.(指数方程)解方程:;.例16.若方程有正数解,则实数的
15、取值范围为_;关于的方程有负根,求的取值范围.例17.(综合问题)已知,则必有( ) 已知定义域为的函数是奇函数,()求;()判断并证明的单调性;()若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.二十五.对数和对数运算例1.已知,求的值.例2.求下列各式中的值:;例3.计算:;例3.求值:;例4.判断正误:若,则; 若,则; ; .例5.计算;.例6.已知,用表示;已知,用表示.例7.设,则;若,则例8.已知,求二十六.对数函数(定义域、值域、最值)例1.求下列函数的定义域;.例2.已知的定义域为,求的定义域。例3.求值域:;.例4.已知满足不等式:,求函数的最值。例5.已知,求的值域.例6.已知函数
16、,若的定义域为,求的取值范围;若的值域为,求的取值范围.例7.函数过定点_;使成立的的取值范围为_;在区间的图像位于轴上方,则例8.已知函数的图像的对称轴为,求.(奇偶性)例9.判断下列函数的奇偶性; .例10.已知是奇函数,求(单调性)例11.求下列函数的单调区间及定义域、值域;.例12.判断在区间上的单调性,并证明.(解不等式)例13.; ; .例14.若,求的取值范围;若,求的取值范围;已知且,求的范围.(单调性的应用比较大小)例15.比较大小:已知,比较(单调性的应用求参数的范围)(逆向问题)例16.已知函数在区间上是增函数,求的取值范围.例17.已知在区间上是减函数,求的取值范围.已
17、知在上是减函数,则已知的单减区间为,则(恒成立问题)例18.若不等式在内恒成立,求的取值范围。例19.已知,当时,有意义,求实数的范围.(对数方程)例20.关于的方程有解,求的取值范围.例21.关于的方程所有解大于,求的范围.例22.为何值时,关于的方程有两个解;一个解;无实数解.(存在性问题)例23.已知常数满足若,求定义域;证明在其定义域内是增函数;若恰在上恒取正值,且,求的值。二十七.反函数例1.已知函数的反函数过点,则;若点在的图像上,边在其反函数的图像上,则;若在上存在反函数,则。例2.设和分别为方程和的解,求的值。例3.求下列函数的反函数:;小结:求反函数的步骤:反解:由交换:即求
18、原函数的值域,即反函数的定义域二十八.幂函数例1.(概念)已知是幂函数,求的值.例2.(求定义域和值域);.例3.比较大小:; .例4.(不等式)已知,求的取值范围;若,求的取值范围;,求的取值范围;若,求的范围.例5.(幂函数的图像)记住第一象限:以0为界分增减,以0-1为界分凹凸设,函数的图像在直线的上方,则已知的图像与两坐标轴都无共同点且其图像关于轴对称,求;已知幂函数的图像不过原点,则例6.(综合应用)已知的图像在上单增,解不等式.二十九.方程的根与函数的零点例1.求下列函数的零点:;.例2.函数的零点所在区间为( ) 和 例3.在内存在一个零点,则的范围为_。例4.试讨论函数的零点个
19、数.三十.用二分法求方程的近似解(自行复习)三十一.一元二次方程根的分布例1.已知函数,若在区间上至少有一个零点,求实数的范围;若在区间上有且只有一个零点,求实数的范围。例2.方程有两个实根且一个根大于,一个根小于,求实数的取值范围。三十二.几类不同增长的函数模型及应用(自行复习)必修一常见问题总结:1.求集合中的参数后,注意检验元素的互异性;2. 注意集合中的元素是什么?(数,点,图等)3. ,如,求;4. 型,注意讨论(符号及是否为0);5. 为偶函数,则;6. 为奇函数且在处有定义,则,如为上的奇函数,且时,求的解析式;7. 二次不等式的解法:如的解集为_;8. 复合函数的定义域:记住内层函数的值域就是外层函数的定义域,计算顺序有内而外;9. 讨论函数的性质,优先考虑定义域;10.等等(不懂就问,会写的就写,不会写的就打圈圈,空着;必修一就到此结束吧)
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