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1、四、数列【知识梳理】一、数列概念1、数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.2、通项公式:如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即. 3、递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项),且任何一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即或,那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中,其中是数列的递推公式.4、数列的前项和; .二、等差数列1、等差数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,常数称为等差数列的公差.2、通项公式与前项和公式通项公式,为首项,为
2、公差.前项和公式或.3、等差中项:如果成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:是与的等差中项,成等差数列.4、等差数列的判定方法定义法:(,是常数)是等差数列;中项法:()是等差数列.5、等差数列的常用性质数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.;(,是常数);(,是常数,)若,则;若等差数列的前项和,则是等差数列;当项数为,则;当项数为,则.三、等比数列1、等比数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列列,常数称为等比数列的公比.2、通项公式与前项和公式通项公式:,
3、为首项,为公比.前项和公式:当时,当时,.3、等比中项:如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.即:是与的等差中项,成等差数列.4、等比数列的判定方法定义法:(,是常数)是等比数列;中项法:()且是等比数列.5、等比数列的常用性质数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列,公比为.若,则;若等比数列的前项和,则、是等比数列.【典型例题】A、求值类的计算题(多关于等差、等比数列)(1)根据基本量求解(方程思想)1、已知为等差数列的前项和,则= .2、在等差数列中, ,且成等比数列,则数列前20项的和= .3、设是公比为正数的等比数
4、列,若,则数列前7项的和为 .4、已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,则这四个数依次是 .(2)根据数列的性质求解(整体思想)1、已知为等差数列的前项和,则 .2、设、分别是等差数列、的前项和,则 .3、已知为等差数列的前项和,则 .4、在正项等比数列中,则_.5、已知是等差数列,若,且,则_.6、已知为等比数列前项和,则 .7、在等差数列中,若,则的值为 .8、在等比数列中,已知,则 . 9、已知为等差数列,则 .10、等差数列中,已知,则= .B、求数列通项公式(1) 给出前几项,求通项公式1、(1)2,0,2,0,2,0(2)1,3
5、,6,10,15,21,(3)3,-33,333,-3333,33333,(2)给出前n项和求通项公式2、; .3、设数列满足,求数列的通项公式.(3)给出递推公式求通项公式a、已知关系式,可利用迭加法或迭代法;1、已知数列中,求数列的通项公式;b、已知关系式,可利用迭乘法.2、已知数列满足:,求数列的通项公式;c、构造新数列1递推关系形如“”,利用待定系数法求解3、已知数列中,求数列的通项公式.2递推关系形如“”,两边同除或待定系数法求解4、已知数列中,求数列的通项公式.3递推已知数列中,关系形如“”,利用特征根法求解.5、已知数列中,求数列的通项公式.4递推关系形如,两边同除以.6、已知数
6、列中,求数列的通项公式.7、数列中,求数列的通项公式.d、给出关于和的关系1、设数列的前项和为,已知。设,求数列的通项公式;求数列的通项公式2、设是数列的前项和,.求数列的通项公式;设,求数列的前项和.C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差1、已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.2、已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=.求证:是等差数列.2)证明数列等比3、设an是等差数列,bn,求证:数列bn是等比数列.4、设为数列的前项和,已知.证明:当时,是等比数列;求数列的通项公式.5、已知数列满足证明:数列是等比数列;求数列的通项公式;若数列
7、满足证明是等差数列.D、求数列的前n项和基本方法:1)公式法1、已知数列an的前n项和Sn=12n-n2,求数列|an|的前n项和Tn= .2)分组求和法2、数列的前项和= .3、数列的前项和= .4、求和:25+36+47+n(n+3)= .2)裂项相消法5、求和:S=1+= .6、求和:= .3)倒序相加法7、设,则= .4)错位相减法,8、若数列的通项,求此数列的前项和.E、数列单调性最值问题1、数列中,当数列的前项和取得最小值时, . 2、已知为等差数列的前项和,当= 时,取得最大值.3、数列中,则当取最小值时的值为 .4、数列中,求数列的最大项和最小项.5、设数列的前项和为已知,(1
8、)设,求数列的通项公式;(2)若,求的取值范围6、已知为数列的前项和,.求数列的通项公式;数列中是否存在正整数,使得不等式对任意不小于的正整数都成立?若存在,求最小的正整数,若不存在,说明理由.7、非等比数列中,前n项和,(1)求数列的通项公式;(2)设,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由。F、有关数列的实际问题1、2011年底某县的绿化面积占全县总面积的,从2012年开始,计划每年将非绿化面积的8绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2被非绿化. 设该县的总面积为1,2011年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示;求数列的通项公式
9、;至少需要多少年努力,才能使绿化率超过60%?(参考数据:)【综合练习】1、数列的一个通项公式是( )A. BC. D. 2、若两数的等差中项为6,等比中项为10,则以这两数为根的一元二次方程是( )A. B.C. D.3、已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数,则b2(a2-a1)=( )A.8 B.-8 C.8 D. 4、已知数列是等比数列,若则数列的前30项的和( )A. B. C. D.5、已知等比数列a n 的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( ) A.15 B.17 C.19 D.216、已知等差数列的前n项和为,若
10、( )A.18 B.36 C.54 D.727、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=( )A1 B C D8、等差数列an中,a1+a2+a50=200,a51+a52+a100=2700,则a1等于( )A1221B21.5C20.5D209、设 an是由正数组成的等比数列, 且公比q=2, 如果a1a2a3a30 =230, 那么a3a6a9a30=( )A210. B215. C220. D216.10、某人从2009年9月1日起,每年这一天到银行存款一年定期元,且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期,若年利率保持不变,到2013年9月1日将所有的存款和利息全
11、部取出,他可取回的钱数为A. B. C. D.11、已知数列的通项公式,则其中三位数的个数有_个.12、设等差数列的前n项和为,若,则的值是_.13、已知数列的前项和公式为那么此数列的通项公式为 .14、在各项均为正数的等比数列中,若=9,则 .15、=_ .16、已知等差数列中,公差为且,求的值。 17、在等比数列中,若求首项和公比。设等比数列,是它的前项和,若求公比。18、已知数列是等差数列,且(1)求数列的通项公式; (2)令求数列前n项和的公式. 19、设 数列满足: (1)求证数列是等比数列(要指出首项与公比); (2)求数列的通项公式. 20、在等比数列an中,an0(nN*),公比q(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2an,数列bn的前n项和为Sn,求数列Sn的通项公式;(3)是否存在kN*,使得k对任意nN*恒成立,若存在,求出k的最小值,若不存在,请说明理由21、在单调递增数列中,且成等差数列,成等比数列,(1)分别计算,和,的值;(2)求数列的通项公式;(3)设数列的前项和为,证明:,
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