高等数学微分方程总结.ppt
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1、求解流程图 微分方程求解总结 1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分 转为z的一阶线性 关于u一阶 二阶 变系 数 二阶 一阶 二阶 常系 数 解的结构 P338 P348 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 例1. 求下列方程的通解 提示: (1)故为分离变量方程: 通解 1、一阶标准类型 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y
2、= u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 . 化为 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 . 例2. 求下列方程的通解: 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (伯努利方程) (分离变量方程) 原方程化为 二、非标准类型: 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解: 例3. 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+) 内满足以下条件: (1) 求F(x)
3、 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 二、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 降阶法 令 令 逐次积分求解 2. 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: (1) 写出相应的特征方程 (2) 求出特征方程的两个根 (3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列 规则写出微分方程的通解 求解二阶常系数线性方程 非齐 通解 齐次通解 非齐特解 难点:如何求特解? 方法:待定系数法. (3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 解答提示 P353 题2 求以为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P353 题3 求下列微分方程的通解 提示: (6) 令则方程变为 特征根: 齐次方程通解: 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 原方程通解为 特解设法有何变化 ? P354 题4(2) 求解 提示: 令则方程变为 积分得利用 再解并利用 定常数 思考若问题改为求解 则求解过程中得问开方时正负号如何确定? 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案:
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