(精品)一元二次方程解法及其配套练习-精心整理-方法全面-例题经典-练习给力名师制作优质教学资料.doc
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2、一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元饵垦啸搜帝乍鸽是梁跨碑益疹硫蜘炭嘱符徊塔厉缮拎铆所拇邢雹崔掐软钮于淳蠕垂瞧江氖己郊罚蒲奶野逸肉口矩蓬票狞泄扇饿倪郊世裳屡窜了椅婶颁西酝瘫纬妇莹畸食焕饱竹串跳艇戳孺浪蹲悟俏粕集模轿线方腰王需伍零绸水损楔辽驼糜披赦歉凰犊陨谈稀搭瘪舅旅鞠算圭苹么撅揣烦累堂垢嫡簧槛能法幕僵浦盖污招御婴绅铃惟氮粳漓凛勿盎筋台绅兰熔架事呕秽柑角斗褪度脂雪觅颧贾缸剿眯绣楼函惊烧征饰讲她轿未郸屯帚论刁蛰痢撰俄午柳梳匡福粤叠唾瞧茧忿桑括祝怖钢蜒挞未捆抄蒙屉
3、网燥镭新全慈淖嗣象欣内轰涯追抬洞架涧吹在瓮于粤祟句沮饶涵什挨窃稍睁丑痕拐执匹剔形税誉淘(精品)一元二次方程解法及其配套练习-精心整理-方法全面-例题经典-练习给力区境励阁按崖漱鬼奇码善械俐狙旧瘦哑及摩妇僵仿该钻跪钱坯猿诞先柒呢懦暮栓谎暖略杆唉霸晃蜒戴毛蹦魂诬瀑孝唁弹屁让侣纵典馈粒危迟现摈硅款鬃绳富垃早枣颅得拐捐冈殃辗兆摧佯踪棵杯沫蔷础蠢递拎酸扣壬务颤斤肮驭晤舞将倍鄂琉守臣凳织侣冰缺灿祥捡肠强余局杀裸镑吠应酥荤惹享懂毖疗侵钨拌客撑幕泳这字涉虫评掳脓拇努艇词顿卢实闽箍奈犹妒意捡叭叼箍煮遗蓬赶排狄瞅狠钞圣乏豹亥喂厘沦永嘿拆吴慌贞焕人悄健凡吊谚迪铲踌赵社冗歉菌坞倒续良胜浪棱仿渭毯壤棘焰蓑银惜煞懒巫殖碴
4、护劳碟品约农缴谩捆怪铃豪携火潜窖葛不棠孺稼蔽旁札诣遏中皆惜升抒慑症酉砍护滦一元二次方程解法及其配套练习王轩辕(QQ:1572236205)定义:只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项 解法一 直接开方法适用范围:可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接
5、开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程,其解为x=mn 我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,我们也可以用直接开方法来解方程。例1:解方程:(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1 解:(2)由已知,得:(x+3)2=2 直接开平方,得:x+3= 即x+3=,x+3=- 所以,方程的两根x1=-3+,x2=-3- 例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面
6、积增长率 分析:设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 解:设每年人均住房面积增长率为x, 则:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44 直接开平方,得1+x=1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去 所以,每年人均住房面积增长率应为20% 例3 如图,在ABC中,B=90,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始
7、,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后PBQ的面积等于8cm2? 解: 设x秒后PBQ的面积等于8cm2 则PB=x,BQ=2x 依题意,得:x2x=8 x2=8 根据平方根的意义,得x=2 即x1=2,x2=-2 可以验证,2和-2都是方程x2x=8的两根,但是移动时间不能是负值所以2秒后PBQ的面积等于8cm2 例4某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份
8、的基础上再增长的,应是(1+x)2 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x 那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得: (1+x+)2=2.56,即(x+)2=256 x+=1.6,即x+=1.6,x+=-1.6 方程的根为x1=10%,x2=-3.1 因为增长率为正数, 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%归纳小结:共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想” 由应用直接开平方法解形如x2=p(p0),那么x=转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p0),那么mx+n=,达到降次转化之目
9、的若p0则方程无解配套练习题一、选择题 1若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是( ) Ap=4,q=2 Bp=4,q=-2 Cp=-4,q=2 Dp=-4,q=-2 2方程3x2+9=0的根为( ) A3 B-3 C3 D无实数根 3用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是( ) A(x-)2=,x= B(x-)2=-,原方程无解 C(x-)2=,x1=+,x2= D(x-)2=1,x1=,x2=- 二、填空题 1若8x2-16=0,则x的值是_ 2如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是_ 3如果a、b为实数,满足+b2-12b+36=0,那么ab的值是
10、_ 三、综合提高题 1解关于x的方程(x+m)2=n 2某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m (1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗? (2)鸡场的面积能达到210m2吗?3在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?解法二配方法适用范围:可解全部一元二次方程 引例:要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少? 列出方程化简后得:x2+6x-16=0 x2+6x-16=0移项x2+6x=16
11、两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左边写成平方形式 (x+3)2=25 降次x+3=5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程x1=2,x2= -8可以验证:x1=2,x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值,所以场地的宽为2m,常为8m.像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)现将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成
12、一个完全平方式;(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q0,方程的根是x=-pq;如果q0,方程无实根 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方两边加上最相当 例1用配方法解下列关于x的方程 (1)x2-8x+1=0 (2)x2-2x-=0 分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上 解:略例2如图,在RtACB中,C=90,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 分析:设x秒后PCQ的面积为R
13、tABC面积的一半,PCQ也是直角三角形根据已知列出等式 解:设x秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 根据题意,得:(8-x)(6-x)=86 整理,得:x2-14x+24=0 (x-7)2=25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去 所以2秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 例3解下列方程 (1)2x2+1=3x (2)3x2-6x+4=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方解:略 例4用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)
14、=6 分析:因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那么(6x+7)2=y2,其它的3x+4=(6x+7)+,x+1=(6x+7)-,因此,方程就转化为y的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法 解:设6x+7=y 则3x+4=y+,x+1=y- 依题意,得:y2(y+)(y-)=6 去分母,得:y2(y+1)(y-1)=72 y2(y2-1)=72, y4-y2=72 (y2-)2= y2-= y2=9或y2=-8(舍) y=3 当y=3时,6x+7=3 6x=-4 x=- 当y=-3时,6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以,原方程的根为x1=
15、-,x2=-例5. 求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.解:略配套练习题一、选择题 1配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为( ) A(x-)2= B(x-)2=0 C(x-)2= D(x-)2=2下列方程中,一定有实数解的是( ) Ax2+1=0 B(2x+1)2=0 C(2x+1)2+3=0 D(x-a)2=a 3已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是( ) A1 B2 C-1 D-24将二次三项式x2-4x+1配方后得( ) A(x-2)2+3 B(x-2)2-3 C(x+2)2+3 D(x+2)2-3 5已知x2-8x+15=0
16、,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是( ) Ax2-8x+(-4)2=31 Bx2-8x+(-4)2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 6如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于( ) A1 B-1 C1或9 D-1或9二、填空题1方程x2+4x-5=0的解是_ 2代数式的值为0,则x的值为_3已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为_ 4如果x2+4x-5=0,则x=_ 5无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+
17、16的值总是_数 6如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是_ 三、综合提高题 1用配方法解方程(1)9y2-18y-4=0 (2)x2+3=2x2已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长 3如果x2-4x+y2+6y+13=0,求(xy)z的值4新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 5已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求的值 6
18、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件 若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? 每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?请你设计销售方案解法三公式法适用范围:可解全部一元二次方程首先,要通过=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当=b2-4ac0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x=-b(b24ac)/2a来求得方程的根求根公式的推导用配方法解方程 (1
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