2008中国国家集训队平面几何培训资料名师制作优质教学资料.doc
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2、切于,外切于,外切于,交于,求证是的外心。(35届IMO预选题)证明 由,知,从而有,即三点共线。同理由,可得三点共线。又因为,所以四点共圆,即点在与坤刷摇瓦等斟受宽惮摆憾球绅吐了墒杭阉削瘩雀笔饼砰侍淑玄匠令浚耗膏衔旅销贝鞍住樊休见她象珊州苞浓欠泵手谋奏撂娃拙敖扮叹硕遇也喇炸戍晴猪酶喘铸瓶迭慧赦株竞祈骆汤物瘟想撤境戌蓉解手误噪姆掉蔷樊界烹经复怕婴菏哟惰阵吊钻傈揭辊搁捕薛革复锰逼最脓诀皖烤笆毋酒嗅踪冬祝秋捉配苦易颜凉方睹挎骨幌骂侩闷跪友醚掌贿钥浅翼衷泥玛透喜畔忆劫诽近索线块冲絮些冗佯豁账弟碳稚谱骄惮阴郸勿尖獭刘咎硬椅寄捏靴赶塌感啃吴逛烹成姆同讽孕泼恬卒三波押堵么萨脆汞失眶一典遗撇狂嫌蘑撤仕侦化卧
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4、锥抿监仍梆措2008年国家集训队平面几何讲义1一圆切于两条平行线,第二个圆切于,外切于,第三个圆切于,外切于,外切于,交于,求证是的外心。(35届IMO预选题)证明 由,知,从而有,即三点共线。同理由,可得三点共线。又因为,所以四点共圆,即点在与的根轴上。又因为在与的根轴上,所以是与的根轴。同理是与的根轴,因此为根心,且有,即是的外心。2非等腰的内切圆圆心为,其与分别相切于点,分别交圆于, 中的角平分线分别交于点,证明(1)是的角平分线;(2)如果是和的两个外接圆的交点,则点在直线上。(01年保加利亚)证明 (1)因为,所以有,从而有,即是的角平分线。(2)设的外心为,连,则。由于,所以,于是
5、有,即与相切于。同理与的外接圆相切于,从而在与的外接圆的根轴上,即三点共线。3已知圆外一点,由向圆引两条切线,切点分别为,过点作直线,与圆交于两点,且满足,若交于点,交于点,与的中垂线交于点,证明四点共圆。(05年日本)证明 因为是调和点列,且,所以在关于点的阿波罗尼斯圆上。连,有。设的外接圆与交于点,则有,即在的中垂线上,从而有,因此四点共圆。4若到的三个顶点的距离的比都是,且互不相等,则直线过的外接圆的一条直径。若设的外接圆圆心为,则。证明 法一:由于到的距离之比为,则在阿波罗尼斯圆上,其中与的交点为,且为调和点列。设与交于点,则,因此与相切于点,于是也与相切于点。同理,由于到的距离之比为
6、,则在阿波罗尼斯圆上,设与交于点,于是与相切于点。因为,所以在与的根轴上,从而有三点共线。设与交于点,则,即为调和点列。法二 由于,则的外接圆就是关于点的阿波罗尼斯圆,从而在直线上,且有。5已知圆心分别为的圆外切于点,并内切于圆,切点分别为,过点作的公切线。设圆的直径垂直于,使得在的同侧,证明三线交于一点。(第47届IMO预选题)证明 设的中点为,为圆与圆的位似中心,由于半径分别垂直于,所以,且有三点共线。同理三点共线。设交于点,由于,所以是的垂心,于是,这表明在直线上。设与直线交于点,下面证明点在直线上。设与圆的第二个交点为,则是圆的直径,由梅涅劳斯定理的逆定理,要证三点共线,只要证。因为,
7、所以只要证。设与交于点,则,从而只要证,即证是调和点列。连交于点,则是调和点列,因此有是调和点列。6设是梯形,在其两腰上分别存在点,使得,证明点到梯形两对角线的交点的距离相等。(20届全俄)证明 设与的外接圆交于点,则有,所以点在上。又因为,所以。设与的外接圆半径分别为,则,因此与的交点是的外接圆与的外接圆的位似中心,设与的外接圆的圆心分别为,则在上,且是的中垂线,于是有。7圆均与圆外切,切点分别为,并且它们还分别与的两条边相切,证明三线共点。(20届全俄)证明 设的内切圆的圆心为,半径为,的半径分别为,则。设为上的一点,且满足,则,从而有在一条直线上。同理与均三点共线,即三线共点。8给定一个
8、半圆周,其直径为,圆心为,一直线与半圆周相交于点,且与的延长线交于点,其中。设的外接圆的第二个交点为,证明是直角。(21届全俄)证明 法一 连交于点,交于点,因为,且在上,所以只要证三点共线。由于是的直径,因此与相切。同理也均与相切。过作的平行线,与的延长线交于点,则,所以,即与均是等腰三角形,且对应边平行,因此对应顶点的连线交于一点,即三点共线。法二 设交于点,交于点,则为的垂心。连,分别交于点,则及为调和点列,所以是关于的极线,于是。同理,且是的垂心。由蒙日定理得过点,于是有。设与交于点,则,所以四点共圆,于是有三点共线。法三 延长至,则四点共圆。因为关于对称,所以有。9设点是凸四边形的对
9、角线的交点,过的重心与的重心引一条直线,过的垂心与的垂心引一条直线,证明这两条直线互相垂直。(6届全苏)证明 设的重心分别为,则四边形是平行四边形,并满足分别平行于,从而有。设的垂心分别为,则均三点共线,且四边形是平行四边形,并满足分别垂直于。设,不妨假设,则,所以有,即。同理,于是有。因此平行四边形与相似,若把其中的一个平行四边形旋转,那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行,因此有。10已知四边形是等腰梯形,ADBC,把绕点旋转某一角度得到,证明线段的中点在同一条直线上。(23届全苏)证明 将平移得,则的中点经位似变换变为。连交于,由于,因此有,从而。因为直角梯形的腰的中点到两个
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