2008--2009(15)数列(数列的综合应用)名师制作优质教学资料.doc
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4、不完全归纳法:先求出数列的前几项,通过分析各项与项数的函数关系,归纳、猜想出数列的通项公式的方法。若为解答题,需再用数学归纳法给出严格的证明。例1.(2002全国理)设数列满足,()当时,求,并由此猜想出的一个通项公式;(二)连续代入法:将前面的项的表达式整体代入递推关系式,写出后项的表达式(不要进行计算或化简),从中发现规律,猜想出的“表达式”,然后化简(求和)得通项公式。例2. (2008四川文) 设数列中,则通项 _ .(三)迭加法:推导等差数列通项公式时使用的一种数学方法。 例3.(2003天津文、全国文)已知数列 ()求 ()证明小结:形如的形式的,要求an的通项公式,一般都用迭加法
5、。(四)构造法:利用待定系数法、换元法等基本的数学方法,将已知递推关系式变形,构造出等差数列或等比数列等特殊的数列,从而求出数列的通项公式。例4.(2006福建理)已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)()求数列a的通项公式;例5.(据2006江西理改编)已知数列an满足:a1,且an(1) 求数列an的通项公式;小结:几种常见的构造类型1. 已知a=q a+d (q1),可构造等比数列,变为a+=q(a+)的形式,其中。2. 已知 (),可构成等差数列,变为的形式。3. 已知 (),可构成等比数列,变为a+=q(a+)的形式。4. 已知 ,可构成等比数列,变为a+=k (a+)的形式。
6、基础训练1(2008江西文、理)在数列中,则( )A B C D2.(2006重庆理)在数列an中,若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.3已知数列中,已知a1=1,,求数列的通项公式。4(2008安徽文)设数列满足其中为实数,且.()求数列的通项公式;5.(2008陕西理)已知数列的首项,.()求的通项公式;6(2008全国卷文)在数列中,()设证明:数列是等差数列; ()求数列的前项和7(2007辽宁文)已知数列,满足,且()(I)令,求数列的通项公式; (II)求数列的通项公式及前项和公式8(2004全国卷理)已知数列的前项和满足.(1)写出数列的前三项;
7、(2)求数列的通项公式;9. (2008福建文) 已知是整数组成的数列,且点在函数的图像上: (1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求证:10.(2007全国理)设数列an的首项a1 (0,1), an=,n=2,3,4(1)求an的通项公式;11(2008天津文)已知数列中,且()设,证明是等比数列; ()求数列的通项公式;12. (2008广东文)设数列满足(n=3,4,),数列满足是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k,都有。 (1)求数列和的通项公式;第06讲 数列的综合问题(二)数列的求和 数列的综合应用一、an与Sn的关系式的应用:例1.(2006四川文)数列前n项和记为.
8、()求的的通项公式; 例2(2004全国卷理)数列的前n项和记为Sn,已知证明:()数列是等比数列; ()【基础训练一】1、(2006上海文)设数列的前项和为,且对任意正整数,。(1)求数列的通项公式; 2. (据2008山东文、理改编) 在数列中,为数列的前项和,且满足 ()证明数列成等差数列,并求数列的通项公式;3.(2005北京文)数列an的前n项和为Sn,且a1=1,n=1,2,3,求 (I)a2,a3,a4的值及数列an的通项公式; 4(2007重庆文、理)已知各项均为正数的数列的前n项和满足,且 (1)求的通项公式;5(2008全国卷理)设数列的前项和为已知,()设,求数列的通项公
9、式; ()若,求的取值范围二、数列的求和:常用方法有公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法。例1.(2006安徽文)在等差数列中,前项和满足条件, ()求数列的通项公式;()记,求数列的前项和。例2.(2006湖北文)设数列的前n项和为,点均在函数y3x2的图像上.()求数列的通项公式;()设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m.【基础训练二】1.若数列的通项公式是,则它的前n项和Sn=_.2.若数列的通项公式是,则它的前n项和Sn=_.3.(2003北京理)已知数列是等差数列,且 ()求数列的通项公式; ()令求数列前n项和的公式.4.(2007天津文) 在数
10、列中,()证明数列是等比数列; ()求数列的前项和;()证明不等式,对任意皆成立5(2005山东文)已知数列的首项前项和为,且(I)证明数列是等比数列;(II)令,求函数在点处的导数第07讲 数列的实际应用广东高考考试大纲说明的具体要求:能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系与等比关系,并能用有关知识解决相应的问题【典型例题分析】例1(2004福建文、理)某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今
11、年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数)。()设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An、Bn的表达式;()依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?例2.某学校在高中二年级每周开设A,B两种选修课各一节,要求全年级所有500名学生每人每周必选且只选其中的一种选修。调查资料表明,第一周选修A课程的人数比选修B课程的人数多128人,以后凡是在本周选A课程的人,下周会有25% 改选B课程;而本周选B课程的人,下星期会有25% 改选A课程.用
12、分别表示在第周选A课程的人数和选B课程的人数. 设到第K周选修A课程的人数为整数且达到最小值,则从第K+1周起所有学生固定选修科目,不再进行科目调整。 ()求证数列an-bn为等比数列; () 求数列an 的通项公式和K的值;() 在前K周内参加A课程选修的共有多少人次?【巩固练习】1.(2007安徽文、理) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r0),那
13、么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.()写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式;()求证:TnAnBn,其中An是一个等比数列,Bn是一个等差数列.2.在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*),满足向量与向量共线,且点An(n,an) (nN*)都在斜率为2的同一条直线l上. 若a1=-3,b1=10.(1)求数列an与 bn 的通项公式;(2)求当n取何值时AnBnCn的面积Sn最小,并求出Sn的这个最小值。3.(2005上海文、理)假设某
14、市2004年新建住房面积400万平方米,其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价层的累计面积 (以2004年为累计的第一年) 将首次不少于4780万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?4.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图,如右图所示;由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项,后6组的频数从左到右依次是等
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