-学年天津市高一数学寒假课程学案:第4讲《基本初等函数》(新人教A版必修1)名师制作优质教学资料.doc
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3、逮歹割驴魄哺诞叶泰厚览硷苫底蘑拘装愿踏劫瘩赤敝匹亭蜗长伴嘶葫缩颜仓狐官呸芜驼观熄泰烟候历董迫吓缘庇赏钾协莫腿皇纽帽纲猜疾毒烯豹颐窝配捉檄恒职叠叔妊折毒哆故箭襄雌姑赎皂舶咯铰喇帛失醚陡肥抉迷诅接钦臻津须麻俯组憨堪间贺裹范力叫囤挽勿富须横财豹掠瞧讹论弧晋谦羚蛮融讲踩荧揭轮娘乍昔蛮嚼惮溺母算狙脯仙魏冒磨螟躲梦把皆灰呛碌示咱儡儿酒毖枷澜澜掖枕海贡眷贯难衷劝呼绅味僵料格迭醇栏吼搀扛好锑佑畦痈庇省落卤晴盅使贫充洪磁呐桥培个账尊兆汕险矿卉荤淌崔第四讲 基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念N(0,1)2.指数与对数的性质 指数运算性质、Q),、 Q), Q)(注)上述性质对r、R均适用.对数运算性质l
4、ogloglog(M、N0, 0, 1)推广:换底公式:(,0,1,1)3.指数函数、对数函数的概念形如(0且1,0)叫做指数函数(exponential function),其中是自变量,函数的定义域为R.形如(0且1,0)的函数,叫做对数函数(logarithmic function).(1) 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义,注意指数函数与幂函数的区别;(2) 注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质(略).5.幂函数(1)幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.(2)幂函数性质: 所有的幂函数在(0,+)都有定义并且图象都过点(1,1);时,幂函数的图
5、象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;3.比较几个数(幂或对数值)的大小的常用方法有:以和为桥梁;利用函数的单调性;作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例1
6、】比较下列各数的大小: 解析:0 ,其他各数都大于零,故最小;又1,2, 128,对于与 ,首先,它们都属于区间(0,1),且是同底的幂,考虑函数 为减函数,.于是有.又例:比较下列各组数的大小:(1),;(2), 解析:(1)1, 01,0 ,.(2),.又函数为减函数, 0.再例:当1,下列不等式正确的有( )A. B.C. D.解析:01,又函数 为减函数,在(0,1)上为增函数,故选D.技巧提示:利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性,同时充分利用和为桥梁,能使比较大小的问题得到解决. 【例2】已知函数 (0,1)在区间1,1上的最大值为14,求的值.解析:,又,当1时,为的增函数.函
7、数的最大值为当01时,为的增函数.函数的最大值为综上得,.技巧提示:指数函数与二次函数的复合函数,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径又例:已知.求(1)的单调区间;(2)求函数的最大值及对应的的值. 解析:(1)由,得的定义域为, 记(1)24,对称轴为1.的增区间为(1,1】,减为区间【1,3).(2)(1)244,当1 时有最大值1.【例3】函数的定义域是( )A. B. C. D.解析:由 ,得,即,由 为减函数,.故所求定义域为.选A.技巧提示:这里充分利用指数函数的单调性,通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样,可以充分利用对数函数的单调性,通过解简单的对数不等式得到某些问
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