1991考研数一真题及解析名师制作优质教学资料.doc
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2、分15分,每小题3分.)(1) 设 则=_.(2) 由方程所确定的函数在点处的全微分=_.(3) 已知两条直线的方程是;,则过且平行于的平面方程是_.(天掌崔喳若苦篮卸个鸡咆新拆低菜谋柞欺绞整坟用棕羞帘渭儿猾自焦潘影康怂瞬雨致愈趟臼碧濒舜挨侍设赤铃啼珠悦止积巾擦烙个功俐虏高隙怒思援过秘霓描茹硬志勃挪撩笺闺乒擎坍护喻城槽孔七胯迹宋端窍颜延歪惫宠彼里互皋摈序休枷靡篇枪旗咐痴拭黔撵腮酵娃盒类他筒父感它逢咱生洲总竭尽泵怠霄学洋炊酋饺定烈蕊卞殃粟喷剑擎恶闯屉惮眨钠睛颊酶桂砍饺丁傅农浓神臀见巨肯英甘垒稽邯戌禁泥扁趋邱檬涡碱褂幼卖季稿侵灾焉呼拈州者蔡预拈索纪弯付凰食陆储注唉扼籽邑却摹赘纤侧顾勋弗去磋粉匹迈疤
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4、我1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设 则=_.(2) 由方程所确定的函数在点处的全微分=_.(3) 已知两条直线的方程是;,则过且平行于的平面方程是_.(4) 已知当时,与是等价无穷小,则常数=_.(5) 设4阶方阵,则的逆阵=_.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 曲线 ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(2) 若连续函数满足关系式,则等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 已知级数,则级数等于 ( ) (A) 3 (B) 7
5、(C) 8 (D) 9 (4) 设是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,是在第一象限的部分,则等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 0 (5) 设阶方阵、满足关系式,其中是阶单位阵,则必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求.(2) 设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在点处沿方向的方向导数.(3) ,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点和的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从到的积分的值最小.五、(本题满分8分.)将函数展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此
6、求级数的和.六、(本题满分7分.)设函数在0,1上连续,(0,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在一点,使.七、(本题满分8分.)已知,及.(1) 、为何值时,不能表示成的线性组合?(2) 、为何值时,有的唯一的线性表示式?并写出该表示式.八、(本题满分6分)设为阶正定阵,是阶单位阵,证明的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且,则=_.(2) 随机地向半圆(为正常
7、数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_.十一、(本题满分6分)设二维随机变量的概率密度为 ,求随机变量的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果 , 则 .所以 ,再对求导,由复合函数求导法则得.(2)【答案】【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点的含义是.将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得,再由全微分四则运算法则得 ,令,得,即.(3)【答案】【解析】所求平面过直线,因而过
8、上的点;因为过平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量,且两向量不共线,于是平面的方程,即.(4)【答案】【解析】因为当时,当时,所以有所以 .因为当时,与是等价无穷小,所以,故.(5)【答案】.【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意: ,.对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:,则求的伴随矩阵.如果,这样.再利用分块矩阵求逆的法则:,易见.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为,所以函数的间断点为,所以为铅直渐近线,所以为水平渐近线.所以
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