2017高考数学压轴题+黄冈压轴100题名师制作优质教学资料.doc
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4、n的关系3810.创新型数列4111.数列不等式4312数列与解析几何4713椭圆4914.双曲线5215.抛物线5616 解析几何中的参数范围问题5817 解析几何中的最值问题6418 解析几何中的定值问题6719 解析几何与向量7020 探索问题77(1),110(2)1101.二次函数1. 对于函数,若存在实数,使成立,则称为 的不动点(1)当时,求的不动点;(2)若对于任何实数,函数恒有两 个相异的不动点,求实数的取值范围;(3)在(2)的条件下,若的图象上两点的横坐标是函数的不动点,且直线是线段的垂直平分线,求实数的取值范围分析 本题考查二次函数的性质、直线等 基础知识,及综合分析问
5、题的能力 函数与方程思想解: ,(1)当时,设为其不动点,即,则所以,即的不动点是.(2)由得.由已知,此方程有相异二实根,所以,即对任意恒成立,(3)设,直线是线段 的垂直平分线,记的中点,由(2)知在上,化简得:,当时,等号成立即例2 已知函数,若对任 意,且,都有 ()求实数的取值范围;()对于给定的实数,有一个最小的负数,使得 时,都成立,则当为何值时,最小,并求出的最小值解:() , ,实数 的取值范围为 (),显然,对称轴。(1)当,即时,且令,解 得,此时取较大的根,即, (2)当,即时,且令,解 得,此时取较小的根,即, 当且仅当时,取等号,当时,取得 最小值3 2 复合函数1
6、已知 函数满足,其中,且。(1)对于函数,当时,求实数m的取值范围;(2)当时,的取值范围恰为,求的取值范围。解: 且设,则 当时, 在其定义域上当时, , 在其定义域上 且,都有为其定义 域上的增函数又 为奇函数(1) 当时, (2)当时, 在上,且值域为 例2. 函数是的 反函数,的图象与函数的图象关于直线成轴对称图形,记。 (1)求的解析式及其定义域;(2)试问的图象上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与轴垂直?若存在,求出A、B的坐 标;若不存在,说明理由。解:(1) 的图象与的图象关于直线成轴对称图形 的图象与的 图象关于直线对称即:是的反函数 (2)假设在的图象上存在不同
7、的两点A、B使得轴,即使得方程有两不等实根设,则在(,1)上且 , 使得方程有两不等正根设,由函数图象可知:,方程仅 有唯一正根 不存在点A、B符合题意。3. 设且为自然对数的 底数,函数f(x) (1)求证:当时,对一切非负实数x恒成立; (2)对于(0,1)内的任意常数a,是否存在与a 有关的正常数,使得成立?如果存在,求出一个符合条件的;否则说明理由.分析:本题主要考查函数的单调性,导数的应用等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、化归(转化)思想方法解:(1)当令上单调递增,(2)(1),需求一个,使(1)成立,只要求出的最小值,满足上在,只需证明内成立即可,令为
8、增函数,故存在与a有关的正常数使(1)成立。3.创新型函数1.在R上定义运算(b、c为实常数)。记,.令.()如果函数在处有极值,试确定b、c的值;()求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点;()记的最大值为.若对任意的b、c 恒成立,试示的最大值。解:()由在处有极值,可得,解得或若,则,此时没有极值;若,则。当变化时,、的变化情况如下表: 0+单调递减极小值-12单调递增极大值单调递减当是,有极大值,故即为所求。()设曲线在处的切线的斜率为,即。解得或。若,则,得切点为,切线方程为;若,则,得切点为,切线方程为。若,解得,则此时切线与曲线的公共点为,;(2)若,解得,此时切线与曲线的公共点
9、为,。综合可知,当时,斜率为c的切线与曲线有且只有一个公共点;当,斜率为c的切线与曲线有两个不同的公共点,分别为和或,。()(1)当时,函数的对称轴位于区间外,在上的最值在两端点处取得,故应是和中较大的一个。,即(2)当得对称轴x=b位于区间之内此时由若于是若,则,于是综上,对任意的b、c都有而当,时,在区间上的最大值故对任意的b,c恒成立的k的最大值为 。例2设函数,其中表示不超过的最大整数,如. ()求的值; ()若在区间上存在x,使得成立,求实数k的取值范围;()求函数的值域. 解:()因为,所以 ()因为,所以, 则. 求导得,当时,显然有, 所以在区间上递增, 即可得在区间上的值域为
10、, 在区间上存在x,使得成立,所以 ()由于的表达式关于x与对称,且x0,不妨设x1. 当x=1时,=1,则; 当x1时,设x= n+,nN*,01. 则x= n,所以 , 在1,+)上是增函数,又, , 当时, 当时, 故时,的值域为I1I2In 设, 则. , 当n2时,a2= a3 a4 an b3 bn a2,b2)= I2I3I4In I1I2In=I1I2 =. 综上所述,的值域为例3.我们用和分别表示实数中的最小者和最大者.(1)设,函数的值域为,函数的值域为,求;(2)提出下面的问题:设,为实数,求函数()的最小值或最大值为了方便探究,遵循从特殊到一般的原则,先解决两个特例:求
11、函数和的最值。得出的结论是:,且无最大值;,且无最小值请选择两个学生得出的结论中的一个,说明其成立的理由;(3)试对老师提出的问题进行研究,写出你所得到的结论并加以证明(如果结论是分类的,请选择一种情况加以证明)解:(1), (2)若选择学生甲的结论,则说明如下, ,于是在区间上是减函数,在上是减函数,在上是增函数,在上是增函数,所以函数的最小值是,且函数没有最大值 若选择学生乙的结论,则说明如下, ,于是在区间上是增函数,在上是增函数,在上是减函数,在上是减函数 所以函数的最大值是,且函数没有最小值(3)结论:若,则;若,则;若,则, 以第一个结论为例证明如下: , 当时,是减函数,当时,是
12、增函数当时,函数的图像是以点,为端点的一系列互相连接的折线所组成,所以有4.抽象函数1. 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数;(3)记an=f(n+),求解:(1)因为对x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=0,x0,1又因为f(1)=f(+)=f()f()=f()2,f()=f(+)=f()f()=f()2又f(1)=a0f()=a,f()=a证明:(2)依题意设y=f(x)关于直线x=1对称,故f(x
13、)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR.又由f(x)是偶函数知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR.将上式中x以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.解:(3)由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()=a,f()=a.又f(x)的一个周期是2f(2n+)=f(),因此an=a,例2. 定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有,且当x0时,0f(x)1。(1)判断f(x)的单调性;(2)设,若,试确定a的取值范围。解:(1)在中,令,得,因为,
14、所以。在中,令因为当时,所以当时而,所以又当x=0时,所以,综上可知,对于任意,均有。设,则所以所以在R上为减函数。(2)由于函数y=f(x)在R上为减函数,所以即有,又,根据函数的单调性,有由,所以直线与圆面无公共点。因此有,解得。5.导函数不等式1. 已知函数()若,试确定函数的单调区间;()若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;()设函数,求证:分析:本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力。解:()由得,所以由得,故的单调递增区间是,由得,故的单调递减区间
15、是()由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时,此时在上单调递增故,符合题意当时,当变化时的变化情况如下表:单调递减极小值单调递增由此可得,在上,依题意,又综合,得,实数的取值范围是(), 由此得,故2. 设,对任意实数,记()求函数的单调区间;()求证:()当时,对任意正实数成立;()有且仅有一个正实数,使得对于任意正实数成立。分析:本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、化归(转化)思想方法(I)解:由,得因为当时,当时,当时,故所求函数的单调递增区间是,单调递减区间是(II)证明:(i)方法一:令,则,
16、当时,由,得,当时,所以在内的最小值是故当时,对任意正实数成立方法二:对任意固定的,令,则,由,得当时,;当时,所以当时,取得最大值因此当时,对任意正实数成立(ii)方法一:由(i)得,对任意正实数成立即存在正实数,使得对任意正实数成立下面证明的唯一性:当,时,由(i)得,再取,得,所以,即时,不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立方法二:对任意,因为关于的最大值是,所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是:,即,又因为,不等式成立的充分必要条件是,所以有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立3. 定义函数f n( x )(1x)n1, x2,nN*(1)求证:f n (
17、 x ) nx;(2)是否存在区间 a,0 (a0),使函数h( x )f 3( x )f 2( x )在区间a,0上的值域为ka,0?若存在,求出最小实数k的值及相应的区间a,0,若不存在,说明理由.分析:本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、数形结合思想方法解:(1)证明:f n( x )nx(1x)n1nx,令g( x )(1x)n1nx , 则g( x )n(1x)n11.当x(2,0)时, g( x )0,当x(0,)时,g( x )0,g( x )在x0处取得极小值g( 0 )0,同时g( x )是单峰函数
18、,则g( 0 )也是最小值.g( x )0,即f n ( x )nx(当且仅当x0时取等号). 注:亦可用数学归纳法证明.(2)h( x )f 3( x )f 2( x )x( 1x )2h( x )(1x)2x2(1x)(1x)(13x)令h(x)0, 得x1或x ,当x(2,1),h(x)0;当x(1,)时,h(x)0;当x( ,)时,h(x)0.故作出h(x)的草图如图所示,讨论如下:当时,h(x)最小值h(a)ka k(1a)2当时h(x)最小值h(a)h()ka 当时h( x )最小值h( a )a(1a)2ka k(1a)2,时取等号.综上讨论可知k的最小值为,此时a,0,0.例4
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