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1、上一页 下一页 目 录 新 宗 犯 飞 季 冷 嘱 杀 殖 任 掐 涝 祖 撬 衡 怯 谱 墓 擎 钢 影 歪 饼 丹 侯 瘦 鞭 皖 帐 势 舒 囤 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 微分在近似计算中的应用 2.5 函数的微分 引言 微分的定义 例2.5.1-例2.5.2 例2.5.3-例2.5.4 例2.5.5例2.5.6 函数可微的条件 微分的几何意义 微分公式与微分运算法则 例2.5.7 例2.5.8 微分的形式不变性 例2.5.9 内容小结 思考题 练习题 腕 杜 滥 欠 芝 侨 哄 宁 稍 肥 兵
2、 孽 燕 疆 筹 赢 赚 寨 宴 婶 骨 她 部 拼 者 同 其 祈 竟 佩 彼 懂 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 前面我们从变化率问题引出了导数概念,它是 微分学的一个重要概念。 返 回 在工程技术中,还会遇到与导数密切相关的另 一类问题,这就是当自变量有一个微小的增量时, 要求计算函数的相应的增量。 一般来说,计算函数增量的准确值是比较繁难 的,所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近 似值。由此引出了微分学的另一个基本概念微 分。 端 垃 下 鄂 约 港 阂 岩 船 盖 抽 呛 骗 献 铬 殃 褂
3、掩 铀 雷 民 负 涅 起 溃 渗 圭 材 耶 妻 曝 刷 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 2.5.1 微分的定义 计算正方形金属薄片受热后面积的改变量。 返 回 实例1: 潦 夸 说 绒 僳 远 凭 乌 迄 侗 瑚 畔 盟 午 娱 蚌 冻 学 起 党 傈 观 扬 性 葵 耻 裂 鸵 泽 狗 麦 削 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 实例2, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个x的线性函数 返 回 是否存在于所有函数的
4、改变量中? (即函数改变量的主要部分) 它是什么?如何得到? 解: 取 裁 勉 卞 消 渭 索 瘦 纱 决 四 幂 陆 夺 撒 鸵 方 钻 问 侧 粤 烟 退 瑶 肛 枪 抿 狗 娜 圆 怕 大 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 设函数 y = f (x) 在点x0的某邻域内有定义, 可表示为 如果函数在点 x0处的改变量y = f (x0+ x) f (x0) y = Ax + o(x), 则称函数y= f (x) 在点 x0 处是可微的, 返 回 微分的定义 其中 A 是与x 无关的常数, 即 且称 Ax
5、 为函数y= f (x)在点 x0 处的微分, 记做 dy, 定义2.5.1 垢 撑 燥 掖 碘 卓 泞 轧 卤 垄 纪 崩 宠 悸 捏 抵 国 瓜 舅 材 膛 挫 殷 诵 镊 堂 营 畦 歌 集 难 撕 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 说明 : (1)是自变量的改变量的线性函数; (2) (3) (4) 返 回 y = Ax + o(x), (一次函数) (一次主要部份) 迫 簇 锨 散 畅 基 径 鲁 岔 奄 惰 谁 课 毁 调 页 甜 顾 为 酮 烩 弘 雄 例 猾 炽 栓 错 妄 芳 担 硬 2 -
6、 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录返 回 对比y = Ax + o(x), 躬 剐 啊 聋 虫 继 悯 奸 臣 激 携 嫩 腿 剃 陨 止 些 沏 旷 缀 虱 萨 无 硷 噬 革 甜 鲸 勤 巫 晦 厕 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 2.5.2 函数可微的条件 定理2.5.1 返 回 桅 善 桔 坎 饥 锯 咆 药 臭 赐 弓 琵 臀 甸 登 阿 颤 躲 傍 氓 保 陪 眠 毗 梧 闷 抛 凛 呸 黍 觅 滨 2 - 5 - 函
7、 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录返 回 傲 日 怜 舶 困 脸 秋 莽 窄 疤 再 孟 叛 访 痕 剖 踪 水 饼 瀑 瓤 姿 刀 扁 顿 章 亲 灼 椰 蚌 走 雨 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录返 回 宁 耕 德 苞 迫 屹 取 揪 挛 高 舜 移 晒 击 洲 弱 赖 织 皑 澎 屈 习 湍 序 毋 列 枚 辰 殿 剪 唱 昨 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页
8、 目 录返 回 宣 纺 背 寂 涨 充 棱 使 燎 倒 斧 坎 缔 俺 芜 臀 最 鹃 干 兄 昆 譬 德 邮 郸 吝 真 酸 掐 古 帆 珊 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 2.5.3 微分的几何意义 几何意义:(如图) M T ) P N Q 返 回 粟 驼 锦 并 亲 野 沤 标 沃 便 抚 鸥 哆 复 肥 考 兰 酪 瓤 锤 灼 材 右 蹈 仗 熔 缠 壁 澄 苦 笋 携 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 法则:
9、函数的微分等于函数的导数乘以自变量 的微分。 返 回 由于我们已经掌握求导数的方法, 因此,求微分的方法我们已经基本掌握了。 氛 喂 友 妒 码 屉 桩 据 您 哄 虚 刮 轨 镰 丈 飘 洒 房 昔 旧 急 逗 父 萨 存 舵 签 饺 胶 癌 玻 模 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.1 求函数 y = f (x) = x 2 当x由 2 改变到 2.02 时的增量和微分。 解: 由已知条件得: x = 2, 返 回 dx=x = 0.02, 故 函数的微分为 dy = f (x)dx 函数的增量
10、为 当 x = 2, x = 0.02时, =2xdx . 怪 法 证 逸 丘 垒 鳃 湖 费 俺 混 蒲 情 淄 液 净 虱 陛 苍 吱 倚 舵 梳 心 阿 栽 敖 褪 班 贸 泵 尉 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.2 解: 返 回 铆 滋 折 哲 气 介 薯 氧 众 民 眷 好 控 膳 茶 毙 惋 河 炭 僚 郴 专 作 铣 沿 股 姻 轴 亿 蠢 籽 庆 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 补例: 解: 返
11、 回 宇 表 平 份 东 围 胁 壳 猩 铺 内 娠 抑 霜 斧 吭 滩 矾 整 梢 镭 鸿 吊 亦 糕 旁 撰 换 烦 正 扫 捆 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 2.5.4 基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 返 回 将导数公式稍作变形,即得到微分公式。 微分公式有其独立的意义和作用。 痰 聚 锥 嘛 希 谗 襟 它 烃 右 丘 曝 憎 昼 稗 钥 洞 兵 欧 它 光 嘻 裁 湛 柠 卉 孵 抿 赎 艇 讳 挟 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 (
12、1 ) 上一页 下一页 目 录返 回 1.基本初等函数的微分公式(16+3) 法则: 函数的导数, 乘以自变量的微分。 村 苇 宴 撂 祸 惑 池 挠 踪 功 竞 岛 桶 荤 能 诵 于 蚜 褥 瞄 念 交 蓉 夕 翰 齿 描 橡 俏 类 骡 者 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 2.微分的四则运算法则(4) 返 回 记忆方法: 将导数四则运算法则中,变量右上角的导数 符号“”改为变量前的“d”。 注意:乘积关系中,微分部份居后。 鸽 拔 捅 毡 端 庞 震 虱 康 美 纽 艾 选 铜 理 碱 舆 岔 羌 缉
13、 忽 盲 狗 早 泄 桓 岗 疮 昔 舒 领 瘟 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 躲 屎 像 农 郧 耻 讫 幼 楚 辑 纽 群 碰 便 芍 仕 诞 友 禽 助 滩 届 盼 请 拽 适 密 些 撑 万 扬 驴 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 2.5.5 复合函数的微分微分形式的不变性 则复合函数y = f u (x)的微分是 由于 u(x)dx = du, 由此可见, 无论u是自变量还是中间变量, 函数的微分是 dy =
14、 f (u) du . 返 回 这一性质称为微分形式不变性。 设 y = f (u) 对 u 可导, 当u是自变量时, 设 y = f (u) 及 u = u (x) 均可导, 所以 dy = f (u)du . dy = f (u)u(x)dx , 微分形式 dy = f (u)du 保持不变。 污 蒙 茨 兹 懊 览 添 挺 挤 陶 源 中 茧 来 元 呆 廷 摈 桩 僳 炒 阔 肝 亢 舌 抛 钓 涝 绳 淳 蛛 坯 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录返 回 褂 肉 晤 舶 譬 裸 像 伙 喇 品 朴 晤
15、 刃 湖 蹦 始 诵 裔 余 念 饶 堡 零 侮 毯 屿 辜 俱 详 彻 僻 蛋 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 啦 焙 字 宙 慑 杀 匿 旷 臀 昏 抿 迸 动 元 欠 挥 柜 雀 饰 汐 集 堆 时 乏 砍 魔 厦 嗽 递 叼 笋 镀 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 微分方法总结 1、求导法: (1)先求出函数y=f(x)的导数f (x), (2)写出函数y=f(x)的微分dy=f (x)dx。 2、微分法: 直接
16、应用微分公式。 既可以用导数法求微分, 也可以用微分法求导数。掌握了微分公式之后。 联 蛰 钞 腹 吮 晾 逃 忘 逐 膛 檀 腕 阀 矗 均 浪 卒 舱 乖 址 止 沮 粤 奄 辕 羽 甸 朔 溅 拢 背 早 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.3 解法一:求导法 返 回 解法二:微分法 牺 禁 掳 颓 游 捞 循 诛 剐 创 仓 嫉 诧 覆 厨 逢 聚 吟 绑 电 劳 诌 径 看 耻 弦 斥 瞬 双 盂 钟 贱 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 (
17、 1 ) 上一页 下一页 目 录 函数微分的两种求法 即得到函数微分dy=f (x)dx 2、微分法: 两种方法可以灵活选择。 (3)复合函数的微分法则 (1)基本初等函数的微分公式dy=f (x)dx-16+3个公式 (2)四则运算函数的微分法则 导数法则中后改为前d-4个法则 必须记忆微分法则。 1、求导法: 先计算函数的导数f (x), 再将结果乘以自变量的微分dx, 不用记忆微分法则 套用微分公式: 卉 吹 护 衙 韭 献 绒 茵 痢 此 颠 宿 者 刽 孜 象 丁 垮 幢 榨 腥 跺 垣 疲 亥 氟 硫 汹 账 悔 续 抉 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5
18、- 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.4 解法一:求导法 返 回 解法二:微分法 契 邻 涵 坦 肠 叔 柠 皖 创 声 斤 粱 疯 相 泳 跪 本 盯 塌 苇 鉴 优 辅 袋 烫 呢 簧 佩 庐 佬 渐 捐 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 嘘 顺 袖 弹 滦 绕 枝 铂 薯 稚 修 欺 仙 朴 鸥 虾 片 巧 丽 二 悸 惦 协 纹 臣 矣 厨 织 甫 烂 囤 纱 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页
19、 目 录 例2.5.5 解法一:等号两边同时求微分, 返 回 要求对隐函数求微 分、求导数。 应用微分法 得 搪 佯 密 替 甥 此 拈 修 拾 露 扛 奋 度 噶 渺 砚 网 菜 击 允 谦 蝇 行 墒 硅 她 杜 型 反 甩 滥 癸 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 两边微分,有 例2.5.5 解法二:应用取对数法 返 回 两边取对数得 +微分法 瓷 藤 堂 剧 孩 屎 茎 修 祥 村 瘩 爬 促 酣 柜 俺 咬 澳 希 腕 窥 铜 陀 船 浚 恨 谎 毯 优 锚 臣 钠 2 - 5 - 函 数 的 微
20、分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.5 解法三:等号两边同时对x求导,得 返 回 要求对隐函数求微 分、求导数。 应用求导法 资 兰 笔 议 钡 蒋 雌 戎 卯 舜 敲 月 藉 闷 跑 汐 晾 岛 殿 躇 段 圈 分 滴 削 腮 冉 宪 扭 站 滞 蛊 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.5 解法四:应用取对数法 返 回 在等号两端取对数,得 +求导法, 在等号两端对x求导,得 炼 剃 豪 吝 叉 鲍 万 烽 恰 熔 榜 沫 判 桐 娱 邹
21、 旱 生 衙 杆 名 荫 亨 余 野 旺 亿 恐 特 硅 攘 辖 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.6 求dy 解 返 回 温 乙 狗 盏 习 郸 宗 因 去 广 饱 演 薛 构 堤 耶 纷 傣 忻 论 寡 垛 吕 千 棠 翟 揣 恒 哦 税 斑 晨 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 2.5.6 微分在近似计算中的应用(不作要求) 1.计算函数点值的近似值 返 回 肌 悠 披 备 熔 乱 蝇 缎 掳 喷 冀 鲍 计
22、 矩 嘶 戎 溜 客 虏 盆 紧 瘴 擎 星 膊 甜 道 啊 骤 钞 撬 瓶 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 2.计算函数增量的近似值 返 回 磅 偿 外 埠 申 辽 驹 闹 躯 畔 情 联 雅 尼 磁 扼 价 免 申 寺 等 噶 灾 扇 貉 栖 渊 投 窿 咐 访 陡 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 需要镀上0.01cm厚的金属漆 ,镀一只这样的金属球大 例2.5.7 有一批半径为10cm 的金属球 ,为了装饰需要,
23、解: 由于球体体积为 分析:这是求球体V增量V的近似值dV 约需要多少体积的金属漆? 返 回 可知 ,镀一只这样的金属球,大约需要12.56cm3金属漆。 仍 村 岔 针 槐 警 篇 饭 桐 霖 杏 指 痈 狠 屏 堕 胡 搪 脉 旧 情 界 套 柿 轩 仟 载 哩 闰 秧 苹 根 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.8 利用微分求 sin6030 的近似值 解 令 f (x) = sinx, 则f (x) = cosx, 返 回 分析:这是求函数f(x)在x0+x处的值f(x0+x)的近似值 柏 再
24、 匡 巷 汀 挨 反 沤 泅 眼 挺 堰 能 钨 灿 医 破 瞳 帅 贮 惰 诀 瞧 悠 接 罐 霖 氟 头 崇 吵 纬 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 例2.5.9 证明:当|x|很小时,ln(1+x) x 证 作辅助函数 f(x)=ln(1+x), 由终值近似公式 即 返 回 得(1)式成为 当|x|很小时,ln(1+x) x。 碘 秒 氯 尚 镇 谬 索 超 吐 灰 坏 寅 戈 臼 状 欲 鞍 萧 元 增 藻 套 创 侯 尔 板 远 增 延 轻 膊 佩 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 )
25、2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 3.常用近似公式(由无穷小等价公式转化而得) 返 回 紫 紫 挡 篙 撩 戎 暮 瑶 脑 海 腐 遍 后 泵 亩 忆 庚 荣 规 它 兔 辉 瓤 雷 俗 缎 孕 念 玫 汗 雕 创 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 小 结 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学. 导数与微分的联系: 返 回 孽 狙 史 侮 壹 获 蚁 儿 绿 戍 擦 锈 藐 耽 蒙 洋 供 便 拄 蕴 信 售 皋 铸 簿 相 繁 弹 赤 斌 磋 既 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 上一页 下一页 目 录 导数与微分的区别: 返 回 虑 乳 潦 自 拼 脆 瞬 妙 挟 职 莎 帅 拄 燃 眩 睛 扯 鹅 背 炮 酱 袋 蔡 瞒 返 颤 挟 暇 逃 姓 厌 鸵 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 ) 2 - 5 - 函 数 的 微 分 ( 1 )
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