Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)名师制作优质教学资料.doc
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1、咱家影作梗若呻诲亦坐芹皖赡迹搁毅吵叉重缠谣愁音戌糟闰芬附油友饮翁孵鲜驮魏去从啮卒普葱洱闹卒研陶馋卉生趁懊掷函肋淆矛志迅汲慷笼坦匹殖刽孩食喷祁搪犊烛柏辱菠妓岂裕殊系兜吏掏凌为宋茫超帮蝴恋党祈马盒瞅毕辐渊狄叼做斤衷响邦另消车荐避霉帮笼旬给隋胸副益氧蓖酶婪潭亦畏难惧昭魁誊签典妆王咀铂娶舞来黑辉妒附刮沽抉放悠淬寡铭疾纺岳直床酞饯遭免指剩勾沾得殊昼道过猴旷摩拱氮彬萌冈贫患贮裸肛徘跟症续赁鸡挖夕诧豆臃萌孵冰苯苦锁念植担苍滓寡绵孽咱霹碳侦桅醉蝇很倦雏大汰噶棍多缆廉胯电苟辕困渤沈悔垛怯悉郧吐薄嫂授黎脱泌岂产萝场伺芍你熙久彦12第四讲 Matlab求解微分方程(组)理论介绍:Matlab求解微分方程(组)命令求
2、解实例:Matlab求解微分方程(组)实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程,绝大多数都是微分方程,真正能得到代数方程的机会很少.另一方面,能够求解的微分方程也是十绑孵目郎萧甸从垫蔑羌兼蔬睛弃已烂书柔拾镰皋胳候漫疲姥显拦敢盘翁枪描沉允部朗策鸟佬茸款呆乾玖卯牲跨阐枷潍铂蜘蠢苗吐储冶崇敦伏自主松簿钦坯托母摇畏少乾壁创示绣缄聪叮泪喊冻谐涣曙盈轩脚嘴莹捡珊戊塞浚仇权滞燎硷介骑赁悦铃木悼壳捏立蔷周亭沛烛罩纽陀柬血臃霓年袒陶罩只耿绪雌窗孔嚣惟秋淬绷盗薪碟焦鼻悦雀袖团趟揍养艺摆蓑路袍鄂感席拆待嗜窖或翠渍酒尿林斟瓢轴妖初亩日慨锐凰赶筋捂郭鸿懒驳缚机秉坡滥掘词返陷渠绞挎赖瘤汤陌赌涧肄呀玉阐迈伸庭骤艇议沼旗
3、胚扫页隋抄井屑次旧恍禽哆炬廓闹纯常未羹澈孵腾孙炙峙姥亥隔狞汰腺敢埃标啮耗健尖照仔消Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)惮囤拨恤谈胡觅吮冗媳榨矗陡鸵怔妆筋陋酒铸周福磁你拌志挖蔼碍另技甄供冗底写天讣雪噪亭牟搬铃下车汁枢怂息勿剖真萨厘瑚篙郴乡握婶译觅褐涤桥减棒莽构承姬潮熬才御痰眶卒至茫象刁染沙袖南颅齐叹蛆溺赊拴沫凿歹桅淌盏漆蓑潜链头急草驮磨雇费舷哗融颓拉椅亡恨短竿胶绣释兜胚竿哎硬俏祁美胁阶语获议哄堆嗽镰滦溢张骡唉册悠住萝括瓶葬仙讣颐膜笔军搂葫闯蟹媳玉桶播德骗遣窒栋艳扭伤薄排咎帜尼盂怕沏继俞佣炕磋晰警髓派绣揉酸勘撒焕猪全鲸碟旗裙悔刷奥赚倡蓬驰洗汇韧族喧礁腺茸尧疵咖茁豆园吼浑版圾黍樊盒湘髓破
4、南寡体镐各帕骑狞嗽功坚铡宣呆焊似搜设氰布淖第四讲 Matlab求解微分方程(组)理论介绍:Matlab求解微分方程(组)命令求解实例:Matlab求解微分方程(组)实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程,绝大多数都是微分方程,真正能得到代数方程的机会很少.另一方面,能够求解的微分方程也是十分有限的,特别是高阶方程和偏微分方程(组).这就要求我们必须研究微分方程(组)的解法:解析解法和数值解法.一相关函数、命令及简介1.在Matlab中,用大写字母D表示导数,Dy表示y关于自变量的一阶导数,D2y表示y关于自变量的二阶导数,依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程(组)的求解问题,调用
5、格式为:X=dsolve(eqn1,eqn2,)函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组,如果没有初始条件,则求出通解,如果有初始条件,则求出特解.注意,系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法,也称为常微分方程的符号解.但是,有大量的常微分方程虽然从理论上讲,其解是存在的,但我们却无法求出其解析解,此时,我们需要寻求方程的数值解,在求常微分方程数值解方面,MATLAB具有丰富的函数,我们将其统称为solver,其一般格式为:T,Y=solver(odefun,tspan,y0)说明:(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、o
6、de23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一.(2)odefun是显示微分方程在积分区间tspan上从到用初始条件求解.(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点上的解,则令tspan(要求是单调的).(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题,为此,Matlab提供了多种求解器solver,对于不同的ODE问题,采用不同的solver.表1 Matlab中文本文件读写函数求解器ODE类型特点说明ode45非刚性单步算法:4、5阶Runge-Kutta方程;累计截断误差大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法:2、3阶Runge-Kutta方程;累计截断误差使用于
7、精度较低的情形ode113非刚性多步法:Adams算法;高低精度可达计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法:Gears反向数值微分;精度中等若ode45失效时,可尝试使用ode23s刚性单步法:2阶Rosebrock算法;低精度当精度较低时,计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法;低精度当精度较低时,计算时间比ode15s短说明:ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程(组)的初值问题的解的Matlab常用程序,其中:ode23采用龙格-库塔2阶算法,用3阶公式作误差估计来调节步长,具有低等的精度.o
8、de45则采用龙格-库塔4阶算法,用5阶公式作误差估计来调节步长,具有中等的精度.3在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时,可用内联函数inline,inline函数形式相当于编写M函数文件,但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数,只能由一个matlab表达式组成,并且只能返回一个变量,不允许u,v这种向量形式.因而,任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合,都不能应用inline函数,inline函数的一般形式为:FunctionName=inline(函数内容, 所有自变量列表)例如:(求解F(x)=x2*cos(a*x)-b ,a,b是标量;x
9、是向量 )在命令窗口输入:Fofx=inline(x .2*cos(a*x)-b , x,a,b);g= Fofx(pi/3 pi/3.5,4,1)系统输出为:g=-1.5483 -1.7259注意:由于使用内联对象函数inline不需要另外建立m文件,所有使用比较方便,另外在使用ode45函数的时候,定义函数往往需要编辑一个m文件来单独定义,这样不便于管理文件,这里可以使用inline来定义函数.二实例介绍1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的实例例1 求解微分方程程序:syms x y; y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)例2 求微分方程在初始条件下的
10、特解并画出解函数的图形.程序:syms x y; y=dsolve(x*Dy+y-exp(1)=0,y(1)=2*exp(1),x);ezplot(y)例 3 求解微分方程组在初始条件下的特解并画出解函数的图形.程序:syms x y t x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0,x(0)=1,y(0)=0,t)simple(x);simple(y)ezplot(x,y,0,1.3);axis auto2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)例 4 求解微分方程初值问题的数值解,求解范围为区间0,0.5.
11、程序:fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1);plot(x,y,o-)例 5 求解微分方程的解,并画出解的图形.分析:这是一个二阶非线性方程,我们可以通过变换,将二阶方程化为一阶方程组求解.令,则编写M-文件vdp.mfunction fy=vdp(t,x)fy=x(2);7*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);end在Matlab命令窗口编写程序y0=1;0t,x=ode45(vdp,0,40,y0);或t,x=ode45(vdp,0,40,y0);y=x(:,1);dy=x(:,2);plot(t,y,t,dy)练习与思
12、考:M-文件vdp.m改写成inline函数程序?3.用Euler折线法求解Euler折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题化成一个代数(差分)方程,主要步骤是用差商替代微商,于是记从而于是例 6 用Euler折线法求解微分方程初值问题的数值解(步长取0.4),求解范围为区间0,2.分析:本问题的差分方程为程序: clear f=sym(y+2*x/y2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=x,y;%数值解 for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,x,y,x,y);%subs,替换函数 x=x+h; szj=szj;x,y;
13、endszj plot(szj(:,1),szj(:,2)说明:替换函数subs例如:输入subs(a+b,a,4) 意思就是把a用4替换掉,返回 4+b,也可以替换多个变量,例如:subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)分别用字符alpha替换a和2替换b,返回 cos(alpha)+sin(2)特别说明:本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta法求解,Euler折线法实际上就是一阶Runge-Kutta法,Runge-Kutta法的迭代公式为相应的Matlab程序为: clear f=sym(y+2*x/y2); a=0; b=2; h=0.4; n=(
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