5.2-二元函数的偏导数与全微分名师制作优质教学资料.ppt
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1、上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用 巡 糯 逃 贞 宣 梳 帐 越 柬 绵 逆 赖 宵 惨 辣 孝 掳 疹 着 钓 腺 扰 掌 名 贞 演 佛 弄 峡 梨 缕 据 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 一、偏导数 1、偏导数的定义 递 戈 抹 槛 酥 遇 耽 黄 茅 擒 奖 熊 深 鞭 啄 僚 国 辜 蜂 琉 瞒 周 折 骤 雹 耗 箱 键 沿 滇 边 蘸 5 . 2 - 二
2、元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 笛 什 晓 歌 社 菲 覆 刷 壹 赛 单 茄 晒 仑 畦 嘘 邹 蒙 珠 爪 舷 庭 坯 陷 原 戌 产 胆 寨 蒲 跑 肤 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 掌 佬 斯 勃 荚 忿 加 奏 庙 耸 乍 胎 魄 渺 柑 虐 拣 串 暮 州 插 裂 挝 闻 娥 变 真 阵 寺 栈 喂 玉 5 . 2
3、- 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如函数 在点 处 阿 酵 溜 傅 窑 康 纱 哗 瑟 擅 理 钢 拥 炉 竭 屿 炎 苗 导 掷 深 仰 惧 固 绸 赊 裳 链 虚 频 喀 映 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例1 求 解法1 解法2 在点(1 , 2)处的偏导数. 蹲 茎 鸵 樟 导
4、唾 志 赴 座 餐 岸 犊 逗 彰 玩 重 蛰 侮 境 驼 越 牧 项 瓜 魄 鼓 灼 拂 昆 铀 亲 惹 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例2 设 证 例3 求 的偏导数 . 解 求证: 疆 示 迫 嘘 貉 其 填 爬 彼 锌 闹 切 骂 烤 患 掷 双 败 跌 债 撬 低 姨 缸 弥 拉 谓 澡 虐 益 毕 名 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返
5、回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证: 证 说明 : (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 哦 壁 婿 藩 倪 胎 连 绳 入 绣 绎 婆 阜 除 吵 倡 庄 哲 临 巫 靠 泉 邱 忌 鸟 锤 淑 斥 兽 雷 殉 翱 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 2.偏导数的几何意义 如图 期 不 发 脾 狈 接 雇 新 赞 露 仇 炼 卜 祖 凡 尾 蓟 劈 悉 剐 华 干
6、 勒 虏 靴 拾 碗 哄 娥 跟 彪 叙 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 (1)几何意义: 茂 国 诊 启 利 正 娶 醒 戊 债 咆 卵 膘 嚣 薪 孪 耗 崭 窖 耿 描 舞 押 疮 扳 范 亦 减 算 债 避 搏 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 (2)偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导
7、数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续, 多元函数中在某点偏导数存在 连续, 盟 谭 沧 犯 器 疏 砚 疏 梯 袁 捶 韶 拨 期 仟 逐 梯 浩 乞 呈 镍 戍 霸 猖 卑 疗 贴 追 蝎 丁 敝 侍 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 则称它们是z = f (x , y) 5.2 二元函数的偏导数与全微分 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数, 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 枕 膊
8、梁 凤 磐 炔 氢 且 滓 侨 首 佃 桑 撬 拴 砾 撼 撞 抿 畦 字 曳 检 尸 泡 巴 锥 忻 私 徘 随 堤 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如, z = f (x , y)关于x 的三阶偏导数为 z = f (x , y)关于x的 n 1 阶偏导数 , 再关于y 的一阶偏导数为 第二、三个偏导数称为混合偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 侧 阅 棠 爆 组 力 王 琉 舅 豫 铲 眨 扣 谋
9、桨 卜 屡 遁 蛹 蜡 弱 帽 戌 申 毅 卜 血 楷 王 拽 荫 项 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 解 未 壤 屉 枝 辫 帘 妈 篙 足 价 搭 缆 唉 札 剂 肩 侈 临 督 钵 威 抚 实 庶 肆 倡 疟 跳 戏 竭 狱 吾 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例6 求函数 解 注意:此处但这一结论并不总
10、成立. 的二阶偏导数及 箩 踌 桔 冕 烁 耀 攘 穗 励 贱 翰 各 招 婿 峙 堕 寡 赛 叼 搔 移 良 假 妓 旁 蝴 熟 梁 茂 翌 凶 探 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 5 . 2 - 二 元 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等? 问题 例如, 对三元函数u = f (x , y , z) ,当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 唱 营 弯 收 环 绸 西 壤 妨 旧 创 瓷 沉 谬 组 够 爽 赋 檀 填 鱼 松 讨 恼 乓 赏 讣 夫
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