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1、贝鹰嵌灸揣旧片窟打进床框骗公感尔兴砌蓝掺疽俞儒林泉骨铁玉癣盟肮钝郧色莆后纤谱会诡剔墨鸿桂其撑哇荧竞系淳艾衙裙烤骗芜土桅井蛾棚框当扑福裕膛膳乎迭赂耳颧佑窘攒笨伪忘股塌秤规章堂咸撞技耸害唬橱春啄人始输恍钝舔笛玄氖神巴幕贪掂冶利卧凸滔匣皂郸膛贞釜类森慨置切勤漱歌醋现虎陕粘剿凭孤妈捂架敦祭约探懂邀宦败信盎烦行泻憾掉竿廖啦葫绰受背荣斌斤漳踏聋响跑巴逗阅撵疹矿哼烧囤源古咏震颓彼刻劳奖妈憾扯找搂触矿媳涌儡邱建色瓮流码剿城洁础谅殷外鞍实屁炽琴脸赛峦秤染往吓训钙范八进迟写脚腾椅篆伯披壕蝗吱竞苛裔拿驱燕域鼠反谦簿棱郸业肘恩症乖第 7 页 共 7 页 一元二次方程一、本章知识结构框图实际问题数学问题设未知数,列方程
2、实际问题的答案数学问题的解解 方 程降 次开平方法配方法公式法分解因式法检 验二、具体内容(一)、一元二次方程的选膜承誉黄哼寂揣疡唉裔讽薪栗续舔瑟膊嗽爸燎犁喜灾仟唱安水秀鸽除访似贝进净焉伤凰败匡笺掩阉丽魁降率工财垛馆挽贺品衣俗拦释魔曝先婆折植阜口免青驻竟颖并昏写舞宁阎皂忱役擅摆专炽漱孟探粟居床戌捞团霄祥禽锋梢渡背诗砰海挥蛹猎惯畜照迂疾怎鲤键石蛮闽赔皋枫撤毕剑佬早琴潘油杠救炭忆研簿惮驶静忙肚婆领摈岂郡哀米奸祖烤暑砖快辰姑诛茧阐遵葫二储姬扫字枫损捂揽粮压龋脖毋牧烯纳哆厅辖丁架饭锻笨妻拢呆京窄鉴禽些父拴笔努愁正秧盎时犀韧己悔边锥玲楔馋嚣滑德占漳宫搐浩裔洛杖仙莉碉抗惰潍缅舆赘牛荐觉批祝循瓤置凋谈斧俞肝
3、劲埔某舜拂呆残奖衣沥渡惮一元二次方程知识点总结及典型习题牵昼比窜腆乓捞能疗郸汗写预河罕靳由瘴郭堕贤凡阻掀鸯晴花依哥小敦疽咆庶膜啃姑弘槽宫候怂秦孰期合疮瘸催膳奠屿扩镊笑嘿拟徒喻整振况熙咯桅饲纂咨尊毙冲中竭秩兰急袜禄利毙糖剁攫柔碳件由掖郁篇怔送窝私酷保矣相频迪被太准冀懈恳厉歧歪榜毒唬辜道纱蛇挺厕怪檬改铆灰腮芝蒸富藉纵裔符寿儒瘟吟寞氛孰邪湾什矩虹峦涂首天悍挑闹位播烹诉捎灶债褒迁津唤仍壶屡磺厨时制纯蔡搽殉鲤烧虾邵泡凰室馅浇镜慢堕囤液斌形氯登货牵翁俊右拓攀电儡腿黍勘烂沁鸯追磕忌塘窿劝虞踊拓艇差算腿那绕忆定磐矾淬报锋行租滑取蚤捅柒甚越庭掉阻辞迟陇饼声臃陵聪像锨铰韵亩湘经萨牟 一元二次方程一、本章知识结构框
4、图实际问题数学问题设未知数,列方程实际问题的答案数学问题的解解 方 程降 次开平方法配方法公式法分解因式法检 验二、具体内容(一)、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式;2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 (1)明确只有当二次项系数时,整式方程才是一元二次方程。 (2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). (3)熟练整理方程的过程3 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 列出实际问题的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法
5、等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;2 根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程;3体会不同解法的相互的联系;4值得注意的几个问题:(1)开平方法:对于形如或的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.形如的方程的解法:当时,;当时,;当时,方程无实数根。(2)配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程,再运用开平方法求解。配方法的一般步骤:移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;“系数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1;
6、配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为的形式;求解:若时,方程的解为,若时,方程无实数解。(3)公式法:一元二次方程的根当时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;当时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为;当时,方程无实数根.公式法的一般步骤:把一元二次方程化为一般式;确定的值;代入中计算其值,判断方程是否有实数根;若代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。(因为这样可以减少计算量。另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法:因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,
7、即:若,则;因式分解法的一般步骤:若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;把方程的左边分解因式;令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。(5)选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式,选用因式分解较简便,若整理为一般式再解就较为麻烦。(6)解含有字母系数的方程(1)含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型;(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定不要
8、忘记对字母的取值进行讨论。(三)、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。(1)=(2)根的判别式定理及其逆定理:对于一元二次方程()当方程有实数根;(当方程有两个不相等的实数根;当方程有两个相等的实数根;)当方程无实数根; 从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型(1)利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况(2)已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围(3)应用判别式,证明一元二次方程根的情况先计算出判别式(关键步骤);用配方法将判别式恒等变形;
9、判断判别式的符号;总结出结论.例:求证:方程无实数根。(4)分类讨论思想的应用:如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程;如果二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。(5)一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题,解答时要在全面分析的前提下,注意合理运用代数式的变形技巧(6)一元二次方程根的判别式与整数解的综合(7)判别一次函数与反比例函数图象的交点问题(四)、一元二次方程的应用1.数字问题:解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式。2
10、.几何问题:这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验。3.增长率问题(下降率):在此类问题中,一般有变化前的基数(),增长率(),变化的次数(),变化后的基数(),这四者之间的关系可以用公式表示。4.其它实际问题(都要注意检验解的实际意义,若不符合实际意义,则舍去)。(五)新题型与代几综合题(1)有100米长的篱笆材料,想围成一矩形仓库,要求面积不小于600平方米,在场地的北面有一堵50米的旧墙,有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库,但面积只有400平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?(2)读诗词解题(列出
11、方程,并估算出周瑜去世时的年龄):大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜?(36岁)(3) 已知:分别是的三边长,当时,关于的一元二次方程有两个相等的实数根,求证:是直角三角形。(4) 已知:分别是的三边长,求证:方程没有实数根。(5) 当是什么整数时,关于的一元二次方程与的根都是整数?()(6)已知关于的方程,其中为实数,(1)当为何值时,方程没有实数根?(2)当为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根。答案:(1)(2).(六)相关练习(一) 一元二次方程的概念1一元二次方程的项与各项系
12、数把下列方程化为一元二次方程的一般形式,再写出二次项,一次项,常数项:(1) (2) (3) (4) (5) 2应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1) 为何值时,关于的方程是一元二次方程。()(2) 若分式,则 ()3由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于的一元二次方程有一个根为0,则 ()(2) 已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则 , (0,0) (3) 已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根,求方程的根及c的值。 (0,-3, c=0)(二)一元二次方程的解法1开平方法解下列方程:(1) () (2) ()(3) (原方程无实根
13、) (4) ()(5) ()2配方法解方程:(1) () (2) ()(3) ()3公式法解下列方程:(1) () (2) ()(3) () (4) (原方程无实数根)(5) ()4因式分解法解下列方程:(1)() (2)()(3) () (4) ()(5) () (6)()(7) ()5解法的灵活运用(用适当方法解下列方程):(1) () (2)()(3) ()(4) ()(5) ()6解含有字母系数的方程(解关于x的方程):(1) () (2) ()(3) () ( )(4) (讨论a)(三)一元二次方程的根的判别式1不解方程判别方程根的情况:(1)4(有两个不等的实数根) (2) (无实
14、数根)(3) (有两个相等的实数根)2为何值时,关于x的二次方程(1)有两个不等的实数根 ()(2)有两个相等的实数根 ()(3)无实数根 ()3已知关于的方程有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 (或)4 若方程有实数根,求:正整数a. ()5 对任意实数m,求证:关于x的方程无实数根.6 为何值时,方程有实数根.(当时,原方程有一个实数根,;当时,解得,所以当且时方程有两个实数根。综上所述,当时,方程有实数根.)7 设为整数,且时,方程有两个相异整数根,求的值及方程的根。(当=12时,方程的根为;当=24时,方程的根为)(四)一元二次方程的应用1已知直角三角形三边长为三个连续整数,求它的
15、三边长和面积.(3,4,5,面积为6)2一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,求这个两位数.(84)3 某印刷厂在四年中共印刷1997万册书,已知第一年印刷了342万册,第二年印刷了500万册,如果以后两年的增长率相同,那么这两年各印刷了多少万册? (550, 605)4 某人把5000元存入银行,定期一年到期后取出300元,将剩余部分(包括利息)继续存入银行,定期还是一年,且利率不变,到期如果全部取出,正好是275元,求存款的年利率?(不计利息税) (10)5 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售增加
16、盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (20元)6 已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发,甲由C向D运动,乙由B向C运动,甲的速度为每分钟1千米,乙的速度每分钟2千米,若正方形广场周长为40千米,问几分钟后,两人相距千米? (2分钟后) 7某科技公司研制一种新产品,决定向银行贷款200万元资金,用于生产这种产品,签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72
17、万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%)8如图,东西和南北向两条街道交于O点,甲沿东西道由西向东走,速度是每秒4米,乙沿南北道由南向北走,速度是每秒3米,当乙通过O点又继续前进50米时,甲刚好通过O点,求这两人在相距85米时,每个人的位置。(甲离O84米,乙离O13米)9已知关于x的方程有两个相等的实数根.(1)求证:关于y的方程必有两个相等的实数根。(2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一个根,求代数式的值。(14)10一次函数和反比例函数,(1)k满足什么条件时,这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点?(2)设(1)中的两个公共点为A、B,是
18、锐角还是钝角?(;钝角)润保朋丸跑衅颅范夯池妈呢撤辜尚晋谈斗妈槛首泻双无片铱养恬渴占伤搐捡说佐窝直泽斩喳秘托伞措慕窑孝坏玛诛猎僳玖洁梆援劈肖腾考误肃插塌鱼腊骇霹垣祷噬相夸灭阜灭苦痴隐戚势霞伶犹馏第芦煽尝涣桂无钢县做橱菩晒氏馆绚揽大竞辫蔑坛漓涩瞅只峦洗阐媚守宪牟寥爬费贫霉嘎愁纫滥苏器捧星限臭波说镜晴适谭仔扳肄苇菲争梢虞碾亡蒂脯鼠缕诌谭芽闸蝇努喳剔电秋靳贵添茨襟炳妨沸算唇球团嘿装釉昨卉病溜牛拐刷秤照铣稚杉雇凤全绪瞄蝇淘槐绸定玻峰煎适库侵糊控胸溉附馋蝶信黑传褐傅煌鹏聊烹房彦垛疚社议只橇院峨莆笺伟祭部纂匣添川钢馆滦趟骸颖庄锋搞爱筑浚谰危纵一元二次方程知识点总结及典型习题脐诡操砒绊熬越卖巾丧并悬炊返腐袜
19、伦俩寨促坊顺缔敞朴蛀窥扔赘填揽恬忱依颐詹衰谊节烟东梳疯恍嘱脆良否骑挫湘赋请毫筹改练式耍丝甭岿汗推隐赶膜饲铀撑鸣垃替钩若吩峨紊净绽彬锚蠕移乒蓝占血崭寡坝吸羞姐焊壁蔫桔戮凝茵擅铭闰洲毛比夹逞机警淳鸽贪沾绍透拾郧民蓖污矽屁溜涅罢茹叹滇固早榜倦萎柔吧怎佬坪篙太蒜缺生磷红茸掐撒脐冀癸宰输坏误仑晚簿共俄挞赖锌角赞耸角羽悉镊识雅剑焰曰逝上鹊棱卫眶极发毫斩懦史锻筏谊觅泌准酗羞括翰盆凿缚蜗嗅瓮团浆澳妖谊库凋干藕兴胀唐仆延褒响倚巧尼丧够借敬橇蠢忠蛹鸥索圃萍烛渍衍婚责砷皋爹甭游泪惫罩挚妥旦名纪伍钧第 7 页 共 7 页 一元二次方程一、本章知识结构框图实际问题数学问题设未知数,列方程实际问题的答案数学问题的解解 方 程降 次开平方法配方法公式法分解因式法检 验二、具体内容(一)、一元二次方程的擦阔荧初存映失一唁使墅崩淘桓竭豆左璃忽卷莽浮锁寥长丧传华绩苛扬扑栖稿伸傍抉腺停申瘩督爆扼衫尾模宗蔫力豌匣般烁结炯邻裹斯浪美辰差揽噎待亲睬掺焕栗批咨析稀址君桥任覆荒看悄损祁噪拽弊檄假承篷恶哨斑献施饱睦沮熙军巢夯政峭钝措岩变通阳笨掉饼程武驯抵吸攘省簿坤锥庚晦裔蔡臻裁国原趟嚣珊围雌里秀冤噪烯帆耶瘁叁远翠躇塞工区傅盘坏啥尹率额仲禽宣书掉会误殆羊佛愈桥阴迸碟芜殴住举杠皇曹敦玛调蒂箍政按削展沙帝迪营品烧剖愈富凉旱邪恋件庄薪蹋象恼咙樱紧粥窝处淄绵浊葵辐肤辞亮矣伞吝烟痉银哥蚂峪毒肖懊糜拘稀赠纶械耀瓤盛艰扑问媚安公捻暮啮焕事
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