2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义第3章

1、1虚数单位i(1)i21(即1的平方根是i)(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立(3)i的幂具有周期性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)，则有inin1in2in30(nN*)2复数的分类复数(zabi，a，bR).3共轭复数的性质设复数z的共轭复数为，则(1)z|z|2|2；(2)z为实数z，z为纯虚数z. 4复数的几何意义5复数相等的条件(1)代数形式：复数相等的充要条件为abicdi(a，b，c，dR)ac，bd.特别地，abi0(a，bR)ab0.注意：两复数不是实数时，不能比较大小(2)几何形式：z1，z2C，z1z2对应点Z1，Z2重合与重合6复数的运算(1)加法和减法运算：(。

2、对应学生用书P52一、合情推理和演绎推理1归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理2从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内。

3、_3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足1复数的加法、减法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i， z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)2复数加法的运算律(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3).复数的乘法。

4、第二课时复数的乘方与除法运算问题1：在实数中，若abc(a0)，则b.反之，若b，则abc.那么在复数集中，若z1z2z3，有z1(z20)成立吗？提示：成立问题2：若复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)，则如何运算？提示：通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数cdi，化简后可得结果，即i(cdi0)对任意复数z，z1，z2和m，nN*，有 (z)m(z)n(z)mn；(zm)nzmn；(z1z2)nzz.2虚数单位in(nN*)的周期性i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.3复数的除法运算及法则把满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数xyi(x，yR)叫做复数abi除以复数cdi的商且xyii.由。

5、33复数的几何意义对应学生用书P43复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以问题2：试说明理由提示：因复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数的几何意义已知复数zabi(a，bR)问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示问题2：向量和点Z有何关系？提示：有。

6、第二课时利用数学归纳法证明几何、整除等问题利用数学归纳法证明几何问题例1平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)n2n2个部分思路点拨分清当n从k变到k1时，增加了几部分精解详析(1)当n1时，f(1)12122， 一个圆把平面分成两部分，命题成立(2)假设nk(kN*)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分当nk1时，第k1个圆与其他k个圆相交于2k个点第k1个圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面被分成的总区域数增加了2k块，即f(k1)f(k)2kk2。

7、31数系的扩充复数的概念及代数表示法问题1：方程2x23x10.试求方程的整数解？方程的实数解？提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.问题2：方程x210在实数范围内有解吗？提示：没有解问题3：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗？提示：有解，xi.问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作abi，这一新数集形式如何表示？提示：Cabi|a，bR 1虚数单位i我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：(1)i21.(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立2复数的概念形如abi(a，bR)的数叫做复数全。

8、21.3 推理案例赏析21.4归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为_、_、_、_、_、_；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an1与an的关系式思路点拨(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果 (2)由数阵可直接写出答案(3)写出a3a2，a4a3，a5a4，从而归纳出(3)的结论精解详析(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都。

9、_2.2直接证明与间接证明2.2.1直 接 证 明对应学生用书P261若实数a，b满足ab3，证明：2a2b4.证明：因为2a2b22，又ab3，所以2a2b24.故2a2b4成立问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论2求证：22. 证明：要证明20,20，只需证明(2)2(2)2，展开得114114，只需证明67，显然67成立所以22成立问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件1直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明(2)直接证明的一般形。

10、22.2间 接 证 明1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”2已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证：a，b，c不可能都是奇数问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a2b2c2吗？提示：都是奇数若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a2b2c2. 1间接证明不是直接从原命题的条件。

11、2.3数学归纳法第一课时利用数学归纳法证明等式、不等式问题对应学生用书P48在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题 数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n0(例如n01,2等)。

12、第二课时类 比 推 理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征1类比推理根据两个(。

13、21.2演 绎 推 理看下面两个问题：(1)是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以是集合A的真子集；(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？提示：都说的一般原理问题2：第二句又说什么？提示：都说的特殊示例问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断 1演绎推理含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法特点(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系(3。

14、对应学生用书P31一、导数的概念1导数函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)2导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数记作f(x)二、导数的几何意义 1f(x0)是函数yf(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义2求切线方程：常见的类型有两种：一是函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，。

15、_2.1合情推理与演绎推理21.1合 情 推 理第一课时归 纳 推 理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电 问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱/毫米)110115120125130135145舒张压(水银柱/毫米)70737578808388提示：14085问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高问题5：数列an的前五项为1,3,5,7,9试。

16、15.3微积分基本定理对应学生用书P28已知函数f(x)2x1，F(x)x2x.问题1：f(x) 和F(x)有何关系？提示：F(x)f(x)问题2：利用定积分的几何意义求(2x1)dx的值提示：(2x1)dx6.问题3：求F(2)F(0)的值提示：F(2)F(0)426.问题4：你得出什么结论？提示：f(x)dxF(2)F(0)，且F(x)f(x) 问题5：已知f(x)x3，F(x)x4，试探究f(x)dx与F(1)F(0)的关系提示：因f(x)dxx3dx.F(1)F(0)，有f(x)F(1)F(0)且F(x)f(x)微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，即F(x)dxF(b)F(a)1微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F(x)f(x。

17、_1.4导数在实际生活中的应用面积、体积最大问题例1用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？思路点拨不妨设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h(4.53x)m.建立长方体的体积函数模型，再求最值精解详析设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h(4.53x)m.故长方体的体积为 V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)m3.从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)，或x1，因此x1.当0x0；当1x时，V(x)0，故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值。

18、_1.5定_积_分15.1 & 1.5.2曲边梯形的面积定积分对应学生用书P24曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线x1，x2，y0和函数f(x)x2所围成的图形，问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？ 提示：不能问题2：若把区间1,2分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确1曲边梯形。

19、13.2极大值与极小值对应学生用书P16极值已知yf(x)的图象(如图)问题1：当xa时，函数值f(a)有何特点？提示：在xa的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是yf(x)的最小值问题2：当xb时，函数值f(b)有何特点？提示：在xb的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是yf(x)的最大值1观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值 2类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值3函数的极大值、极小。

20、12.3 简单复合函数的导数对应学生用书P11已知函数f(x)sin，g(x)(3x2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数问题2：试说明g(x)(3x2)2是如何复合的？提示：函数g(x)(3x2)2是由 g(u)u2，u3x2复合而成的问题3：试求g(x)(3x2)2，g(u)u2，u3x2的导数提示：g(x)(3x2)29x212x418x12.g(u)2u，u3.问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g(x)g(u)u.若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.1求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量2利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单3判断复合函数的复合。

21、33复数的几何意义 对应学生用书 P43 复平面的定义 问题 1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？ 提示：可以 问题 2：试说明理由 提示：因复数 zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐 标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数. 复数的几何意义 已知复数 zabi(a，bR) 问题 1：在复平面内作出复数 z 所对应的点 Z. 提示：如图所示 问题 2：向。

22、_3.2复数的四则运算 第一课时 复数的加减与乘法运算 复数的加减法 已知复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR) 问题 1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ 提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减) 问题 2：复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足 1复数的加法、减法法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)， 则 z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i， z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减) 2复数加法的运算律 (1)交换律：z1z2z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3。

23、第二课时 复数的乘方与除法运算 问题 1： 在实数中， 若 abc(a0)， 则 b .反之， 若 b ， 则 abc.那么在复数集中， c a c a 若 z1z2z3，有 z1 (z20)成立吗？ z3 z2 提示：成立 问题 2：若复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)，则 如何运算？ z1 z2 提示 ： 通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数 c abi cdi di，化简后可得结果，即 abi cdi (abi)(cdi) (cdi)(cdi) (acbd)(bcad)i c2d2 i(cdi0) acbd c2d2 bcad c2d2 对任意复数 z，z1，z2和 m，nN*，有 (z)m(z)n(z)mn； (zm)nzmn； (z1z2)nz z . n 1n 2 2虚数。

24、对应学生用书P46 1虚数单位 i (1)i21(即1 的平方根是i) (2)实数可以与 i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立 (3)i 的幂具有周期性 ： i4n1， i4n1i， i4n21， i4n3i(nN*)， 则有 inin1in2 in30(nN*) 2复数的分类 复数 (zabi，a，bR)Error!Error!. 3共轭复数的性质 设复数 z 的共轭复数为 ，则z (1)z |z|2| |2；zz (2)z 为实数z ，z 为纯虚数z . zz 4复数的几何意义 5复数相等的条件 (1)代数形式 ： 复数相等的充要条件为 abicdi(a， b， c， dR)ac， bd.特别地， a bi0(a，bR)ab0. 注意：两复数不是实数时，不能比较大小。

25、对应学生用书 P52 一、合情推理和演绎推理 1 归纳和类比是常用的合情推理， 都是根据已有的事实， 经过观察、 分析、 比较、 联想， 再进行归纳类比，然后提出猜想的推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一 般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理 2从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在 前提和推理形式都正确的前提下， 得到的结论一定正确 从二者在认识事物的过程中所发挥 作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的合情推理的结论需要演绎推理的验证。

26、31数系的扩充 复数的概念及代数表示法 问题 1：方程 2x23x10.试求方程的整数解？方程的实数解？ 提示：方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和 . 1 2 问题 2：方程 x210 在实数范围内有解吗？ 提示：没有解 问题 3：若有一个新数 i 满足 i21，试想方程 x210 有解吗？ 提示：有解，xi. 问题 4：实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加，结果记作 abi，这一新数集形式如何 表示？ 提示：Cabi|a，bR 1虚数单位 i 我们引入一个新数 i，叫做虚数单位，并规定： (1)i21. (2)实数可以与 i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍。

27、第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题 对应学生用书P50 利用数学归纳法证明几何问题 例 1 平面内有 n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交 于同一点，用数学归纳法证明：这 n 个圆把平面分成 f(n)n2n2 个部分 思路点拨 分清当 n 从 k 变到 k1 时，增加了几部分 精解详析 (1)当 n1 时，f(1)12122， 一个圆把平面分成两部分，命题成立 (2)假设 nk(kN*)时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)k2k2 个部分 当 nk1 时，第 k1 个圆与其他 k 个圆相交于 2k 个点 第 k1 个圆被分成 2k 条弧，而每条弧把原区域分成 。

28、2.3数学归纳法 第一课时 利用数学归纳法证明等式、不等式问题 对应学生用书 P48 在学校，我们经常会看到这样的一种现象 ： 排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆 自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下 问题 1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ 提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆 倒下 问题 2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 提示：一些与正整数 n 有关的问题 数学归纳法 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果 (1)当 n 取第。

29、21.3推理案例赏析 21.4 对应学生用书P23 归纳推理的应用 例 1 观察如图所示的“三角数阵”： 记第 n 行的第 2 个数为 an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成 下列各题： (1)第 6 行的 6 个数依次为_、 _、 _、 _、 _、_； (2)依次写出 a2、a3、a4、a5； (3)归纳出 an1与 an的关系式 思路点拨 (1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的 两数之和，得出(1)的结果 (2)由数阵可直接写出答案 (3)写出 a3a2，a4a3，a5a4，从而归纳出(3)的结论 精解详析 (1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等。

30、22.2 间 接 证 明 1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的 广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福， 幸福的人们都拥有” 该广告词实际说明了什么？ 提示：说的是：“不拥有的人们不幸福” 2已知正整数 a，b，c 满足 a2b2c2.求证：a，b，c 不可能都是奇数 问题 1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能 问题 2：a、b、c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件 a2b2c2吗？ 提示：都是奇数若 a、b、c 都是奇数，则不能满足条件 a2b2c2. 1间接证明 。

31、21.2 演 绎 推 理 看下面两个问题： (1)是任意非空集合的真子集，A 是非空集合，所以是集合 A 的真子集； (2)循环小数是有理数，0.33 是循环小数，所以 0.33 是有理数2 2 问题 1：这两个问题中的第一句都说明什么？ 提示：都说的一般原理 问题 2：第二句又说什么？ 提示：都说的特殊示例 问题 3：第三句呢？ 提示：由一般原理对特殊示例作出判断 1演绎推理 含义 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法 特点 (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中 的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中 (2)在演绎推理中，前。

32、_2.2直接证明与间接证明 2.2.1 直 接 证 明 对应学生用书 P26 1若实数 a，b 满足 ab3，证明：2a2b4 . 2 证明：因为 2a2b22，2a2b2ab 又 ab3，所以 2a2b24.232 故 2a2b4成立2 问题 1：本题利用什么公式？ 提示：基本不等式 问题 2：本题证明顺序是什么？ 提示：从已知到结论 2求证：20,20，327 只需证明(2)2. 1 a 1 b 1 c abc 证明：a0，b0，c0，且 abc1， bccaab. 1 a 1 b 1 c 又 bcca222，bccaabc2c 同理 bcab2，caab2.ba a、b、c 不全相等 上述三个不等式中的“”不能同时成立 2(bccaab)2()，cab 即 bccaab，abc 故 . 1 a 1 b 1 c abc 2。

33、_2.1合情推理与演绎推理 21.1 合 情 推 理 第一课时 归 纳 推 理 问题 1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电 问题 2：由问题 1 你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电 问题 3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用 适当的数填入表中. 年龄(岁)3035404550556065 收缩压(水银 柱/毫米) 110115120125130135145 舒张压(水银 柱/毫米) 70737578808388 提示：140 85 问题 4：由问题 3 中的数据你还能得出什么结论？ 提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高 问题 。