37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.pdf

37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ 基础的数据结构和算法我们基本上学完了，接下来几节，我会讲几种更加基本的算法。它们分别是贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划。更加确切地说， 它们应该是算法思想，并不是具体的算法，常用来指导我们设计具体的算法和编码等。 贪心、分治、回溯、动态规划这4个算法思想，原理解释起来都很简单，但是要真正掌握且灵活应用，并不是件容易的事情。所以，接下来的这4个算法思想的讲 解，我依旧不会长篇大论地去讲理论，而是结合具体的问题，让你自己感受这些算法是怎么工作的，是如何解决问题的，带你在问题中体会这些算法的本质。我 觉得，这比单纯记忆原理和定义要更有价值。 今天，我们先来学习一下贪心算法（greedy algorithm）。贪心算法有很多经典的应用，比如霍夫曼编码（Huffman Coding）、Prim和Kruskal最小生成树算法、还 有Dijkstra单源最短路径算法。最小生成树算法和最短路径算法我们后面会讲到，所以我们今天讲下霍夫曼编码，看看它是如何利用贪心算法来实现对数据压缩编 码，有效节省数据存储空间的。 如何理解“贪心算法”？ 关于贪心算法，我们先看一个例子。 假设我们有一个可以容纳100kg物品的背包，可以装各种物品。我们有以下5种豆子，每种豆子的总量和总价值都各不相同。为了让背包中所装物品的总价值最 大，我们如何选择在背包中装哪些豆子？每种豆子又该装多少呢？ 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 实际上，这个问题很简单，我估计你一下子就能想出来，没错，我们只要先算一算每个物品的单价，按照单价由高到低依次来装就好了。单价从高到低排列，依 次是：黑豆、绿豆、红豆、青豆、黄豆，所以，我们可以往背包里装20kg黑豆、30kg绿豆、50kg红豆。 这个问题的解决思路显而易见，它本质上借助的就是贪心算法。结合这个例子，我总结一下贪心算法解决问题的步骤，我们一起来看看。 第一步，当我们看到这类问题的时候，首先要联想到贪心算法：针对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下， 期望值最大。 类比到刚刚的例子，限制值就是重量不能超过100kg，期望值就是物品的总价值。这组数据就是5种豆子。我们从中选出一部分，满足重量不超过100kg，并且总价 值最大。 第二步，我们尝试看下这个问题是否可以用贪心算法解决：每次选择当前情况下，在对限制值同等贡献量的情况下，对期望值贡献最大的数据。 类比到刚刚的例子，我们每次都从剩下的豆子里面，选择单价最高的，也就是重量相同的情况下，对价值贡献最大的豆子。 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 第三步，我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。大部分情况下，举几个例子验证一下就可以了。严格地证明贪心算法的正确性，是非常复杂 的，需要涉及比较多的数学推理。而且，从实践的角度来说，大部分能用贪心算法解决的问题，贪心算法的正确性都是显而易见的，也不需要严格的数学推导证 明。 实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解。 我来举一个例子。在一个有权图中，我们从顶点S开始，找一条到顶点T的最短路径（路径中边的权值和最小）。贪心算法的解决思路是，每次都选择一条跟当前 顶点相连的权最小的边，直到找到顶点T。按照这种思路，我们求出的最短路径是S-A-E-T，路径长度是1+4+4=9。 但是，这种贪心的选择方式，最终求的路径并不是最短路径，因为路径S-B-D-T才是最短路径，因为这条路径的长度是2+2+2=6。为什么贪心算法在这个问题 上不工作了呢？ 在这个问题上，贪心算法不工作的主要原因是，前面的选择，会影响后面的选择。如果我们第一步从顶点S走到顶点A，那接下来面对的顶点和边，跟第一步从顶 点S走到顶点B，是完全不同的。所以，即便我们第一步选择最优的走法（边最短），但有可能因为这一步选择，导致后面每一步的选择都很糟糕，最终也就无缘 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 全局最优解了。 贪心算法实战分析 对于贪心算法，你是不是还有点懵？如果死抠理论的话，确实很难理解透彻。掌握贪心算法的关键是多练习。只要多练习几道题，自然就有感觉了。所以，我带 着你分析几个具体的例子，帮助你深入理解贪心算法。 1.分糖果 我们有m个糖果和n个孩子。我们现在要把糖果分给这些孩子吃，但是糖果少，孩子多（mn），所以糖果只能分配给一部分孩子。 每个糖果的大小不等，这m个糖果的大小分别是s1，s2，s3，sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求也是不一样的，只有糖果的大小大于等于孩子的对 糖果大小的需求的时候，孩子才得到满足。假设这n个孩子对糖果大小的需求分别是g1，g2，g3，gn。 我的问题是，如何分配糖果，能尽可能满足最多数量的孩子？ 我们可以把这个问题抽象成，从n个孩子中，抽取一部分孩子分配糖果，让满足的孩子的个数（期望值）是最大的。这个问题的限制值就是糖果个数m。 我们现在来看看如何用贪心算法来解决。对于一个孩子来说，如果小的糖果可以满足，我们就没必要用更大的糖果，这样更大的就可以留给其他对糖果大小需求 更大的孩子。另一方面，对糖果大小需求小的孩子更容易被满足，所以，我们可以从需求小的孩子开始分配糖果。因为满足一个需求大的孩子跟满足一个需求小 的孩子，对我们期望值的贡献是一样的。 我们每次从剩下的孩子中，找出对糖果大小需求最小的，然后发给他剩下的糖果中能满足他的最小的糖果，这样得到的分配方案，也就是满足的孩子个数最多的 方案。 2.钱币找零 这个问题在我们的日常生活中更加普遍。假设我们有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元这些面额的纸币，它们的张数分别 是c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付K元，最少要用多少张纸币呢？ 在生活中，我们肯定是先用面值最大的来支付，如果不够，就继续用更小一点面值的，以此类推，最后剩下的用1元来补齐。 在贡献相同期望值（纸币数目）的情况下，我们希望多贡献点金额，这样就可以让纸币数更少，这就是一种贪心算法的解决思路。直觉告诉我们，这种处理方法 就是最好的。实际上，要严谨地证明这种贪心算法的正确性，需要比较复杂的、有技巧的数学推导，我不建议你花太多时间在上面，不过如果感兴趣的话，可以 自己去研究下。 3.区间覆盖 假设我们有n个区间，区间的起始端点和结束端点分别是l1, r1，l2, r2，l3, r3，ln, rn。我们从这n个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相 交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？ 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 这个问题的处理思路稍微不是那么好懂，不过，我建议你最好能弄懂，因为这个处理思想在很多贪心算法问题中都有用到，比如任务调度、教师排课等等问题。 这个问题的解决思路是这样的：我们假设这n个区间中最左端点是lmin，最右端点是rmax。这个问题就相当于，我们选择几个不相交的区间，从左到右将lmin, rmax覆盖上。我们按照起始端点从小到大的顺序对这n个区间排序。 我们每次选择的时候，左端点跟前面的已经覆盖的区间不重合的，右端点又尽量小的，这样可以让剩下的未覆盖区间尽可能的大，就可以放置更多的区间。这实 际上就是一种贪心的选择方法。 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 解答开篇 今天的内容就讲完了，我们现在来看开篇的问题，如何用贪心算法实现霍夫曼编码？ 假设我有一个包含1000个字符的文件，每个字符占1个byte（1byte=8bits），存储这1000个字符就一共需要8000bits，那有没有更加节省空间的存储方式呢？ 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 假设我们通过统计分析发现，这1000个字符中只包含6种不同字符，假设它们分别是a、b、c、d、e、f。而3个二进制位（bit）就可以表示8个不同的字符，所以， 为了尽量减少存储空间，每个字符我们用3个二进制位来表示。那存储这1000个字符只需要3000bits就可以了，比原来的存储方式节省了很多空间。不过，还有没 有更加节省空间的存储方式呢？ a(000)、b(001)、c(010)、d(011)、e(100)、f(101) 霍夫曼编码就要登场了。霍夫曼编码是一种十分有效的编码方法，广泛用于数据压缩中，其压缩率通常在20%90%之间。 霍夫曼编码不仅会考察文本中有多少个不同字符，还会考察每个字符出现的频率，根据频率的不同，选择不同长度的编码。霍夫曼编码试图用这种不等长的编码 方法，来进一步增加压缩的效率。如何给不同频率的字符选择不同长度的编码呢？根据贪心的思想，我们可以把出现频率比较多的字符，用稍微短一些的编码； 出现频率比较少的字符，用稍微长一些的编码。 对于等长的编码来说，我们解压缩起来很简单。比如刚才那个例子中，我们用3个bit表示一个字符。在解压缩的时候，我们每次从文本中读取3位二进制码，然后 翻译成对应的字符。但是，霍夫曼编码是不等长的，每次应该读取1位还是2位、3位等等来解压缩呢？这个问题就导致霍夫曼编码解压缩起来比较复杂。为了避免 解压缩过程中的歧义，霍夫曼编码要求各个字符的编码之间，不会出现某个编码是另一个编码前缀的情况。 假设这6个字符出现的频率从高到低依次是a、b、c、d、e、f。我们把它们编码下面这个样子，任何一个字符的编码都不是另一个的前缀，在解压缩的时候，我们 每次会读取尽可能长的可解压的二进制串，所以在解压缩的时候也不会歧义。经过这种编码压缩之后，这1000个字符只需要2100bits就可以了。 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 尽管霍夫曼编码的思想并不难理解，但是如何根据字符出现频率的不同，给不同的字符进行不同长度的编码呢？这里的处理稍微有些技巧。 我们把每个字符看作一个节点，并且辅带着把频率放到优先级队列中。我们从队列中取出频率最小的两个节点A、B，然后新建一个节点C，把频率设置为两个节 点的频率之和，并把这个新节点C作为节点A、B的父节点。最后再把C节点放入到优先级队列中。重复这个过程，直到队列中没有数据。 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 现在，我们给每一条边加上画一个权值，指向左子节点的边我们统统标记为0，指向右子节点的边，我们统统标记为1，那从根节点到叶节点的路径就是叶节点对 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 应字符的霍夫曼编码。 内容小结 今天我们学习了贪心算法。 实际上，贪心算法适用的场景比较有限。这种算法思想更多的是指导设计基础算法。比如最小生成树算法、单源最短路径算法，这些算法都用到了贪心算法。从 我个人的学习经验来讲，不要刻意去记忆贪心算法的原理，多练习才是最有效的学习方法。 贪心算法的最难的一块是如何将要解决的问题抽象成贪心算法模型，只要这一步搞定之后，贪心算法的编码一般都很简单。贪心算法解决问题的正确性虽然很多 时候都看起来是显而易见的，但是要严谨地证明算法能够得到最优解，并不是件容易的事。所以，很多时候，我们只需要多举几个例子，看一下贪心算法的解决 方案是否真的能得到最优解就可以了。 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 课后思考 1. 在一个非负整数a中，我们希望从中移除k个数字，让剩下的数字值最小，如何选择移除哪k个数字呢？ 2. 假设有n个人等待被服务，但是服务窗口只有一个，每个人需要被服务的时间长度是不同的，如何安排被服务的先后顺序，才能让这n个人总的等待时间最 短？ 欢迎留言和我分享，也欢迎点击“请朋友读”，把今天的内容分享给你的好友，和他一起讨论、学习。 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 精选留言： cirno 2018-12-17 03:04:31 1、由最高位开始，比较低一位数字，如高位大，移除，若高位小，则向右移一位继续比较两个数字，直到高位大于低位则移除，循环k次，如： 4556847594546移除5位-455647594546-45547594546-4547594546-4447594546-444594546 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 2、由等待时间最短的开始服务 30赞 luxinfeng 2018-12-17 03:12:54 老师能详细讲讲区间覆盖这个问题的选择过程么？ 7赞 Jalyn 2018-12-17 00:34:45 想知道目前没掉队的有多少 哈哈 7赞 作者回复2018-12-17 01:27:39 慢慢学 不着急 开心小毛 2018-12-31 02:01:10 找零问题不能用贪婪算法，即使有面值为一元的币值也不行：考虑币值为100，99和1的币种，每种各一百张，找396元。 动态规划可求出四张99元，但贪心算法解出需三张一百和96张一元。 3赞 作者回复2019-01-02 02:06:45 是的 feifei 2018-12-20 00:20:06 1，在一个非负整数 a 中，我们希望从中移除 k 个数字，让剩下的数字值最小，如何选择移除哪 k 个数字呢？ 对于此题，我的求解思路是每次选择数据的最高位的数据值进行移除，这样我们每次选择的移除的数值都是最大的，剩下的数值也是最小的。 比如，数据5892，将数据拆成5000,800,90,2，然后使用大顶堆来进行存储，然后每次移除大顶堆中堆顶最大的元素。 2，假设有 n 个人等待被服务，但是服务窗口只有一个，每个人需要被服务的时间长度是不同的，如何安排被服务的先后顺序，才能让这 n 个人总的等待时 间最短？ 对于此问题，我的求解思路是让待时间最长的来安排先后顺序 比如，现在有3个人，a、b、c,a等待了10分钟，b待待了20分钟，c待待了30分钟 同样使用大顶堆来进行存储等待时间，堆顶的元素就是当前等待时间最长的人 然后每次从堆拿出堆顶元素的人来进行服务，这样就可以让这n个人的总的等待时间最短。 对于学习的贪心算法，老师虽然只进行了理论讲解，但我看完了老师所讲的，我对贪心算法的理解有了一定的认识，我就试着把贪心算法的内容中涉及的东 西，都翻译成了代码， 感觉收获良多，也把这个分享给童鞋，希望对他们有帮助。 37|贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？ file:/F/temp/geektime/数据结构与算法之美/37贪心算法：如何用贪心算法实现Huffman压缩编码？.html2019/1/15 15:36:23 1，这是第一个示例，背包中豆子的最大价值的问题 https:/github.com/kkzfl22/datastruct/tree/master/src/main/java/com/liujun/algorithm/greedyAlgorithm/case1 2，这是孩子分糖果的问题 https:/github.com/kkzfl22/datastruct/tree/master/src/main/java/com/liujun/algorithm/greedyAlgorithm/case2 3，这是钱币支付的问题 https:/github.com/kkzfl22/datastruct/tree/master/src/main/java/com/liujun/algorithm/greedyAlgorithm/case3 4，这是区间覆盖的问题 https:/github.com/kkzfl22/datastruct/tree/master/src/main/java/com/liujun/algorithm/greedyAlgorithm/case4 5，这是霍夫漫编码的实现 https:/github.com/kkzfl22/datastruct/tree/master/src/main/java/com/liujun/algorithm/greedyAlgorithm/huffman 欢迎大家与我交流，也欢迎老师给我指正，谢谢 3赞 您的好友William 2018-12-17 06:04:52 给大家提个醒，货币找零问题如果没有C1货币的话得用动态规划去解，如果出现C2，C7，C10货币找零11块的时候使用greedy就会出现找不开的情况。 。有C1就不会出现找不开的情况且多个C1可以构成任何面值，所以这种情况下使用greedy是对的！（leetcode322题调了一下午的路过。） 3赞 白若 2018-12-17 04:50:40 思考题(自己的想法，不知道对不对，希望老师能给我评论。) 1.从前往后两两比较，若前数大于等于后数，选择移除。如果一轮下来没达到k个数，就移除最后的m个数，m为k-已选出个数。 2.时间越短位置越靠前。 2赞 小美 2018-12-17 02:32:41 老师 区间覆盖的问题， (1-5) 和 (2-4) 中为什么选(2-4) 方便老师解释下吗， 贪心不能全局最优 用贪心 如何在这个问题上全局最优呢 2赞 作者回复2018-12-18 02:02:44 24让剩下的没有被覆盖的区间最大 如果你选15 那我完全可以用24替代15 这样子 只有更好 不会更差 观弈道人 2019-01-03 10:51:56 感觉追求最优解的算法都可以称为贪心算法了，比如哈夫曼编码 1赞 新丁 2018-12-19 12:07:39 贪心算法并不一定能获得最优解！学习做事也一样不能总看眼前的最优选择，坚定目标，踏踏实实的往下学，只有回过头来总结才能证明你是否获得了最优 解 1赞