《2.基本不等式 (4).ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2.基本不等式 (4).ppt(23页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 基本不等式基本不等式:2a bab 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标的限量版纪念邮票会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。会标抽象成数学图形如图所示:21_,SS由图可知即_2ABCD_S 四边形的面积探究一探究一:在这张“弦图”中能找出什么不等关系吗?22ab ABCD那么正方形的边长为_1222,2abaSabSb当时,即14_S 于是,个直角三角形的面积之和为ABCD4在正方形中有 个全等的三角形,a b直角三角形两条直角边长分别为22ab2ab222ababADBCEFGHba22abABCDE(FGH)ab
2、222()abab ab222()abab ab猜想:猜想:一般地,对于任意实数一般地,对于任意实数a、b,我们有,我们有当且仅当当且仅当a=b时,等号成立。时,等号成立。222abab思考:思考:你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗?的证明吗?abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 222abab证明:(作差法)证明:(作差法)2)(ba重要不等式:一般地,对于任意实数重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,总有,总有 当且仅当当且仅当 a=b 时,等号成立时,等号成立.222abab文字叙述为文字叙述为:两数的平方和两数的平方和不小于
3、不小于它们积的它们积的2 2倍倍.适用范围:适用范围:a,bR0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论?22()()2abab2abab替换后得到:替换后得到:即:即:)0,0(ba2abab 即:即:若a0,b0,则_2abab通常我们把上式写作:(0,0)2ababab当且仅当 a=b 时取等号,这个不等式就叫做基本不等式基本不等式.基本不等式基本不等式适用范围:a0,b0在基本不等式 中,称为 的几何平均数几何平均数,称为 的算术平均数算术平均数。ab,a b2ab,a b(0,0)2a babab所以,基本不等式 可叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。2a
4、bab典例分析例例1.若若 ,求,求 的最小值,的最小值,以及取最小值时以及取最小值时 的值的值.()12f xxx 0 xx0 x解解:因为:因为1222122xx1()2f xxx 12xx当且仅当时,等号成立.2()2.2xf x当 时,取得最小值,最小值为22,22xx此时或(舍去)2,2 0 xx 解解:因为:因为42282(2)2(2)xx(88()222)2f xxxxx822xx 当且仅当时,等号成立.2 2 2()22.xf x 当 时,取得最小值,最小值为4【变式变式1】:若若 ,求,求 的最小值,的最小值,以及取最小值时以及取最小值时 x 的值的值.2x8()2f xxx
5、 2 2 22 2 2xx 此时,或(舍去)2,2 0 xx 解解:因为:因为1282 2(2)4(2)xx2(288(222)4f xxxxx82(2)2xx当且仅当时,等号成立.4()12.xf x当 时,取得最小值,最小值为【变式变式2】:若若 ,求,求 的最小值,的最小值,以及取最小值时以及取最小值时 x 的值的值.2x8()22f xxx40()xx此时或舍去(1)当整式与分式相加时,可将整式转化成为分母的倍数式,再利用基本不等式进行解答。(2)运用基本不等式 时,要注意其成立的条件是2abab(0,0)ab延升:延升:,2baa bab 若同号且不为0,则小结小结:0,0 xx 解
6、解:因为:因为212()2 xx11()2()2xfxxxx 12xx 当且仅当时,等号成立.2()2.2xf x当时,取得最大值,最大值为【例例2】:若若 ,求,求 的最的最大大值,以值,以及取最及取最大大值时值时 x 的值的值.0 x1()2f xxx 22()22xx此时,舍去1,1 0 xx 解解:因为:因为10822(1)2(1)xx 2(188(211)2f xxxxx82(1),3(1)xxx当且仅当即时,等号成立3()10.xf x当 时,取得最大值,最大值为【变式变式3】:若若 ,求,求 的最的最大大值,值,以及取最以及取最大大值时值时 x 的值的值.1x8()21f xxx
7、8 2(1)2(1)xx 若 ,可提取负号之后运用基本不等式,但此时要注意不等号的方向。0,0ab小结小结:适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0归纳总结归纳总结,a bR答:(1)需满足(2)注意不等号的方向反思提高反思提高在应用基本不等式 时,需要注意什么?2a bab当堂检测:,0a bRab1.若且,则下列不等式中,恒成立的是()22.2.2112.2AababBababCababbaDabD42.3,()_,3_xf xxxx若函数的最小值为 此时的值为383.,y_,223xxxx当时 函数的最大值为此时的值为_4.()4+0,0=3_af xxxaxxa已知函数()在时取得最小值,则75365212
链接地址:https://www.31doc.com/p-19716968.html