同济版大一高数第十章第三节三重积分ppt课件.ppt
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1、“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第十七讲“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分的概念和计算方法 第十章“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重
2、点的“群众性治安防控工程”。3一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4定义定义.设,),(,),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyx
3、fvzyxfd),(称为体积元素体积元素,vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘积和式”极限记作记作由定义可知,引例中物体的质量为:vdzyxM,特别若在1,zyxf上那么三重积分在数值上就等于区域的体积即:VdV“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5性质性质:三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域
4、 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积,三重积分存在定理:当函数zyxfzyxf,上连续时在闭区域在区域上的三重积分必定存在,此时称函数.,上是可积的在zyxf“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6二、三重积分的计算二、三重积分的计算1)利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法2.投影法(“先一后二”)方法方法3.截面法(“先二后一”)方法方法1.三次积分法,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该
5、物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7投影法方法方法1.三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxdzxyD),(2yxzz),(1yxzz 二次积分即得:vzyxfd),(Dyxzyxzzzyxfyx),()
6、,(21d),(dd)(2xyxoyDbax)(1xy“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8其中 为三个坐标例例1.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x)1(021dxy10d xx481面及平面“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基
7、础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9zxyDDyxdd 方法方法2.投影法投影法(“先一后二先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzz yxdd微元线密度记作“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重
8、点的“群众性治安防控工程”。10例例2:计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.0yzx22解法一解法一:采用先对z积分,将Izdzxx20sinydyx0 xd20 xd20ydxyxcos0241.面上区域投影到xoy200:20:xxyDxzyx“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11ab方法方法3.截面法截面法(“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底,d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为
9、vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zd记作“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12xyz例例3.计算三重积分,ddd2zyxz.1:222222czbyax其中解解:zyxzddd2czczbaz0222d)1(2czc2222221:czbyaxDzzDyxddczz02d23154cbaabc用用“先二后一先二后一”zDz“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为
10、指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法2.“先一后二先一后二”方法方法3.“先二后一先二后一”方法方法1.“三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社
11、区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14oxyz2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z(则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0,(yx“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15如图所示,在柱面坐标系中体积元素为zzdd
12、dzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddxyzodd积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。被积函数表达式中含有2222,zxyx等因子。“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16其中为由例例1.计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(,0yaazz所围解解:在柱面
13、坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式298a柱面cos2成半圆柱体.“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17例例2:求由圆柱面2040:40:yxDyz401622zyzyx及平面所围成的物体的质量.物体的密度为22.,.x y zxy解解:vdyxMD22zdddD20d402dsin40zd204043sin4134d20sin643256d3512x0yz“雪亮工程是
14、以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18o oxyz例例3.计算三重积分解解:在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面42zvdddd原式=“雪亮工程是以区(县)、乡(镇)、村(社区)三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19o oxyz例例3.计
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